কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/রৈখিক মডেল
<< ক্রামার-রাও নিম্নসীমা | কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ | সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা নিরূপণ >> |
প্রশিক্ষক: রৈখিক মডেল |
ভালো নিরূপকের সন্ধানে আমরা অনেক পথ হেঁটেছি, জেনেছি যে,
- কোনো অজানা রাশির নিটাল নিরূপকের ভেদাঙ্ক যদি সম্ভাব্য সর্বনিম্ন হয় তাহলে তাকে নিরূপকটিকে ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিটাল নিরূপক বা ন্যূভেনি বলা হয়।
- সর্বদা ন্যূভেনি-র অস্তিত্ব থাকে না, আর থাকলেও সর্বদা তা নির্ণয় করা যায় না।
- ক্রামার-রাও নিম্নসীমা (সিআরএলবি) নিটাল নিরূপকের ভেদাঙ্কের একটি নিম্নসীমা নির্ধারণ করে।
- কিন্তু ক্রামার-রাও উপপাদ্য নিরূপকের নিম্নসীমাটি অর্জনের কোনো নিশ্চয়তা দেয় না।
- যদি এমন কোনো নিটাল নিরূপক পাওয়া যায় যার ভেদাঙ্ক সিআরএলবি-র সমান, তাহলে নিরূপকটি নিঃসন্দেহে ন্যূভেনি।
কিন্তু সিআরএলবি অর্জন না করলেও নিরূপকটি ন্যূভেনি হতে পারে। তাই ন্যূভেনি খুঁজে পাওয়াটাও গুরুত্বপূর্ণ, কিন্তু কাজটা খুব সোজা নয়। তবে আশার কথা হচ্ছে, সংকেত প্রক্রিয়ণ জগতের অনেক নিরূপণের ক্ষেত্রে এমন উপাত্ত মডেল ব্যবহার করা সম্ভব যা ন্যূভেনি খুঁজে পাওয়ার নিশ্চয়তা দেয়। এই উপাত্ত মডেল গুলোই হচ্ছে রৈখিক মডেল।
আমরা প্রথমে, হাতে থাকা উপাত্তের জন্য একটি মডেল নির্মাণ করি, তারপর সেই মডেলের অজানা রাশিটি/গুলো নিরূপণের জন্য একটি উপযুক্ত নিরূপক সন্ধান করি, যা সিআরএলবি অর্জন করলে এবং ন্যূভেনি হলে সবচেয়ে ভালো হয়। এখানে আমরা দেখাব যে, মডেলটি রৈখিক হলে ন্যূভেনি খুঁজে পাওয়া সম্ভব।
সরলরেখা মিলকরণ
নয়েজপূর্ণ উপাত্তকে একটি সরলরেখা দিয়ে মিলকরণ তথা ফিটিং এর উদাহরণ দিয়ে রৈখিক মডেল সবচেয়ে ভালোভাবে বুঝানো সম্ভব। এক্ষেত্রে মডেলটি হবে:
- <math>x[n] = A+Bs[n] + w[n]</math>
যেখানে <math>n=1,...,N</math>, <math>s[n]</math> একটি স্বাধীন মান যার সাপেক্ষে উপাত্ত পরিমাপ করা হয়, <math>w[n]</math> যথারীতি শ্বেত গাউসীয় নয়েজ (শ্বেগান), এবং A ও B দু'টি মুক্ত রাশি যেগুলো আমরা নিরূপণ করতে চাই। সমীকরণটিকে মেট্রিক্স আকারে লেখা সম্ভব:
- <math>\mathbf{x} = \mathbf{H} \mathbf{\theta} + \mathbf{w}</math>
যেখানে,
- <math>\mathbf{x} = [x[1], x[2], ...., x[N]]^T</math>
- <math>\mathbf{w} = [w[1], w[2], ...., w[N]]^T</math>
- <math>\mathbf{\theta} = [A \ \ B]^T</math>
- <math>\mathbf{H} = \begin{bmatrix}
1 & s[1] \\ 1 & s[2] \\ \vdots & \vdots \\ 1 & s[N] \end{bmatrix}</math>