কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা নিরূপণ

ডিপথট থেকে
<math>L(\mathbf{\theta}) = p(\mathbf{x}|\mathbf{\theta})</math>
<math>\hat{\theta}_{ML} = \text{argmax}_{\theta} \ p(\mathbf{x}|\mathbf{\theta})</math>
<math>\frac{\partial}{\partial\mathbf{\theta}} \ln [p(\mathbf{x}|\mathbf{\theta})] = 0</math>

সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা নিরূপক অসীমতটীয় ভাবে নিটাল, এবং অসীমতটীয় ভাবে সিআরএলবি অর্জন করে, সুতরাং এটি কার্যকর। বুঝাই যাচ্ছে যে এটি খুব কার্যকর, কিন্তু সমস্যা হচ্ছে এর ভালো বৈশিষ্ট্যগুলো অর্জনের জন্য প্রচুর পরিমাণ (অসীমতটীয়) উপাত্ত লাগে। সরলতম উদাহরণ দিয়ে এটি ব্যাখ্যা করা যাক,

<math>x[n] = A+w[n]</math>

ধরি, গড় এবং ভেদাঙ্ক দু'টোই A. (এটা সম্ভব; যেমন, পৈসোঁ বিন্যাসের ক্ষেত্রে) তাহলে শর্তাধীন পিডিএফ হবে,

<math>p(\mathbf{x}|A) = \frac{1}{(2\pi A)^{N/2}} \exp{-\sum\limits_{n=1}^N \frac{(x[n]-A)^2}{2A}}</math>

সর্বোচ্চ সম্ভাব্যতা নিরূপক বের করার জন্য উপরের পিডিএফ এর প্রাকৃতিক লগারিদম এর প্রথম অন্তরকের মান শূন্য ধরে নিতে হবে। তাহলে নিরূপকটি পাওয়া যাবে,

<math>\hat{A} = -\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{N}\mathbf{x}.\mathbf{x}+\frac{1}{4}}</math>

এটা আসলে ধনাত্মক ও ঋণাত্মক দু'টোই হতে পারত। কিন্তু ঋণাত্মক মান ভৌতভাবে সম্ভব না বলে অগ্রাহ্য করা হয়েছে। এটা নিটাল নয়। কারণ এটা রৈখিক অপেক্ষক নয়। আর রৈখিক না হলে, বর্গমূলের প্রত্যাশা প্রত্যাশার বর্গমূলের সমান নয়।

এর্গোডিক উপপাদ্য: এনসেম্বল গড় এনসেম্বলের গড়ের সমান। সুতরাং,

<math>E\left(\frac{\mathbf{x}.\mathbf{x}}{N}\right) = \lim\limits_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{N} \sum x[n]</math>