কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/ক্রামার-রাও নিম্নসীমা
<< ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিটাল নিরূপক | কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ | রৈখিক মডেল >> |
প্রশিক্ষক: ক্রামার-রাও নিম্ন সীমা |
ক্রামার-রাও উপপাদ্যের মাধ্যমে একটি নিরূপকের ভেদাঙ্কের নিম্নসীমা বের করতে পারাটা খুব উপকারী। এর সবচেয়ে ভালো ফলাফল হতে পারে, ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিটাল নিরূপক (ন্যূভেনি) বের করতে পারা। আর ন্যূনতম ভেদাঙ্ক বের করা না গেলেও অন্তত এখান থেকে নির্ণীত নিরূপককে অন্যান্য নিরূপকের জন্য মানদণ্ড হিসেবে ব্যবহার করা যায়। তাই সবদিক থেকেই এটা প্রয়োজনীয়। যে নিরূপকের ভেদাঙ্ক এই নিম্নসীমার চেয়ে কম সেটি নির্ণয় করা ভৌতভাবেই অসম্ভব। তাই সংকেত প্রক্রিয়ণে কোনোকিছুর প্রয়োগযোগ্যতা নিয়ে কাজ করার সময় এটি ব্যবহার করা হয়।
ক্রামার-রাও ছাড়াও ন্যূনতম ভেদাঙ্ক নির্ণয়ের আরো অনেক উপপাদ্য আছে। কিন্তু ক্রামার-রাও সবচেয়ে সরল। এর মাধ্যমে আমরা তৎক্ষণাৎ বের করতে পারি যে, কোনো নিরূপক সীমাটি অর্জন করছে কি না। এমন কোনো নিরূপক পাওয়া না গেলেও উপায় আছে: আপাত অর্থে ক্রামার-রাও নিম্নসীমা অর্জন করে এমন নিরূপক বের করা সম্ভব। ক্রামার-রাও আলোচনা করার আগে একটি নিরূপকের নির্ভুল হওয়ার শর্ত, এবং নির্ভুলতা পরিমাপের উপায় একটি উদাহরণের মাধ্যমে বুঝানো যাক।
নিরূপকের নির্ভুলতা
সকল তথ্য নিহিত থাকে উপাত্ত এবং উপাত্তের সম্ভাব্যতা ঘনত্ব অপেক্ষকের (পিডিএফ) মধ্যে। সুতরাং নিরূপকের নির্ভুলতা সরাসরি পিডিএফ এর উপর নির্ভর করে। যে রাশিটি আমরা নিরূপণ করতে চাচ্ছি, পিডিএফ যদি সেই রাশির উপর খুব একটা নির্ভর না করে তাহলে স্বভাবতই নিরূপণটি নির্ভুল হবে না। পিডিএফ অজানা রাশিটির উপর যত বেশি নির্ভর করে নিরূপকের বিচ্যুতি তত কম হয়। তাই অজানা রাশির উপর পিডিএফ এর নির্ভরতা নিয়েই প্রথমে আলোচনা করা উচিত।
ধরা যাক একটিমাত্র নমুনা পর্যবেক্ষণ করা হয়েছে:
-
({{{3}}})
যেখানে A অজানা রাশি এবং <math>w[0] \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)</math> সংশ্লিষ্ট নয়েজ। রাশিটির সাথে সংশ্লিষ্ট নয়েজের ভেদাঙ্ক <math>\sigma^2</math> যত কম হবে রাশিটি ততই প্রকৃত উপাত্তের সমান হবে। সর্বোত্তম ক্ষেত্রে <math>\hat{A}=x[0]</math>. ভেদাঙ্ক কমলে যে নিরূপকের বিচ্যুতি কমে সেটা একটি পিডিএফ এর মাধ্যমে দেখানো সম্ভব। নিচের সমীকরণের (২) মাধ্যমে দু'টি ভিন্ন ভেদাঙ্কের পিডিএফ প্লট করা যেতে পারে, যা ডানের ছবিতে দেখানো হয়েছে।
-
{{{2}}}
({{{3}}})
\exp\left[-\frac{1}{2\sigma^2}(x[0]-A)^2\right]</math>|
}}ডানের ছবি থেকে স্পষ্টই বুঝা যাচ্ছে যে, ভেদাঙ্কের মান যখন কম (লাল রেখা), তখন রাশিটির মান ৫ (গড় থেকে ১ বেশি) এর চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা খুবই কম। সমাকলনের মাধ্যমে দু'টি ভেদাঙ্কের ক্ষেত্রে দু'টি সম্ভাবনা পরিমাপ করেও এটা দেখানো যায়।
উপরের সমীকরণ এবং ডানের চিত্রে যেমন দেখানো হয়েছে, তেমন অপেক্ষককে, অর্থাৎ উপাত্তের বদলে অজানা রাশিটির সাপেক্ষে যে পিডিএফ নির্ণয় করা হয় তাকেই বলা হয় সম্ভাব্যতা অপেক্ষক, বা লাইকলিহুড ফাংশন। সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের তীক্ষ্ণতার উপরই অজানা রাশি নিরূপণের নির্ভুলতা নির্ভর করে। সুতরাং এই তীক্ষ্ণতা মাপতে পারলেই আমরা নিরূপকের বিচ্যুতি জেনে যাব।
এই তীক্ষ্ণতা আসলে সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের লগারিদম এর দ্বিতীয় অন্তরকের ঋণাত্মক মান থেকে পরিমাপ করা সম্ভব। অর্থাৎ লগ-সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের বক্রতাই আমাদের তীক্ষ্ণতার মান নির্ধারণ করবে। উদাহরণ হিসেবে উপরের পিডিএফ সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের প্রাকৃতিক লগারিদম নেয়া যাক,
-
({{{3}}})
-
({{{3}}})
-
({{{3}}})
দেখা যাচ্ছে দ্বিতীয় অন্তরকের ঋণাত্মক মান, তথা বক্রতা, ভেদাঙ্কের ব্যস্তানুপাতিক; ভেদাঙ্ক যত কমবে বক্রতা তত বাড়বে, অর্থাৎ সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের তীক্ষ্ণতা তত বাড়বে। এখান থেকে সরাসরি ভেদাঙ্ক ও বক্রতার সম্পর্ক লিখে ফেলা যায়,
-
{{{2}}}
({{{3}}})
</math>|
}}এই উদাহরণে দ্বিতীয় অন্তরক উপাত্তের (x) উপর নির্ভর না করলেও সাধারণত তেমনটি হতে দেখা যায় না। এ কারণে সরাসরি সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের দ্বিতীয় অন্তরক নেয়ার বদলে দ্বিতীয় অন্তরকটির উপাত্তের সাপেক্ষে প্রত্যাশা নিতে হয়:
-
<math>-E\left[ \frac{\partial^2\ln p(x[0];A)}{\partial A^2} \right]</math>
(৭ )
যা আসলে লগ-সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের গড় বক্রতা পরিমাপ করে। মনে রাখতে হবে, এখানে প্রত্যাশা নেয়া হয়েছে উপাত্তের সাপেক্ষে, যার ফলে শেষ পর্যন্ত এটি কেবল অজানা রাশি A এর অপেক্ষক হবে। প্রত্যাশা থেকে আরও বুঝা যায় যে, সম্ভাব্যতা অপেক্ষক নিজেই একই দৈব চলক। প্রত্যাশা যত বেশি হবে নিরূপকের ভেদাঙ্ক তত কম হবে।
ক্রামার-রাও নিম্নসীমা
এখন আমরা ক্রামার-রাও নিম্নসীমার মূল প্রতিজ্ঞা উপস্থাপন করতে পারি। উপরে আমরা ভেদাঙ্ক কে লগ-সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের গড় বক্রতার সমান হতে দেখেছি। কিন্তু সেটাকে আরো সাধারণীকরণ করলে ক্রামার-রাও উপপাদ্যের প্রতিজ্ঞা পাওয়া যায় যা হচ্ছে:
কোনো নিটাল নিরূপকের ভেদাঙ্ক লগ-সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের গড় বক্রতার বিপরীত মানের চেয়ে কম হতে পারে না। অর্থাৎ লগ-সম্ভাব্যতা অপেক্ষকের দ্বিতীয় অন্তরকের প্রত্যাশার ঋণাত্মক মানই নিটাল নিরূপকটির ভেদাঙ্কের সম্ভাব্য সর্বনিম্ন মান।
একে গাণিতিকভাগে লিখা যায় এভাবে: যদি পিডিএফ <math>p(\mathbf{x};\theta)</math> নিয়ামানুবর্তিতার নীতি অর্থাৎ নিচের সমীকরণ মান্য করে,
-
({{{3}}})
যেখানে প্রত্যাশা নেয়া হয়েছে <math>p(\mathbf{x};\theta)</math> এর সাপেক্ষে, তাহলে যেকোনো নিটাল নিরূপকের ভেদাঙ্ক নিচের সম্পর্কটি মেনে চলবে:
-
<math>\text{Var}(\hat(\theta)) \ge \frac{1}{-E\left[\frac{\partial^2 \ln p(\mathbf{x};\theta)}{\partial\theta^2}\right]}</math>
(৯ )
যেখানে অন্তরকটি নেয়া হয়েছে <math>\theta</math> এর প্রকৃত মানের সাপেক্ষে, এবং প্রত্যাশা আগের মতোই <math>p(\mathbf{x};\theta)</math> এর সাপেক্ষে।
আরো বলা যায়, <math>\theta</math> এর সকল মানের জন্য একটি নিটাল নিরূপক কেবল তখনই ক্রামার-রাও নিম্নসীমা মেনে চলবে যখন নিচের সম্পর্কটি সত্য হবে:
-
({{{3}}})
যেখানে ন্যূভেনি, <math>\hat{\theta}=g(\mathbf{x})</math> এবং ন্যূনতম ভেদাঙ্ক, <math>\text{var}_{min} = 1/I(\theta)</math>.
আর প্রত্যাশা পরিমাপ করা হয় নিচের সমীকরণের মাধ্যমে,
-
({{{3}}})
যেহেতু দ্বিতীয় অন্তরক <math>\mathbf{x}</math> এর উপর নির্ভরশীল একটি দৈব চলক। মনে রাখতে হবে, নিম্নসীমাটি একই সাথে অজানা রাশির প্রকৃত মান <math>\theta</math> এর উপরও নির্ভর করে।
ক্রামার-রাও নিম্নসীমা উপপাদ্যের প্রমাণ এখানে আছে।
উদাহরণ
শ্বেত গাউসীয় নয়েজের মধ্যে একটি উপাত্ত
এই উদাহরণ দিয়েই এই অধ্যায় শুরু করা হয়েছিল। সমীকরণ ৫ এবং ৯ তুলনা করে দেখা যাচ্ছে এক্ষেত্রে ক্রামার-রাও সীমা,
- <math>\text{var}(\hat{A}) \ge \sigma^2</math>
এবং এটি A এর সকল মানের জন্য সত্য। অর্থাৎ, নিরূপকের ভেদাঙ্ক A এর কোনো মানের জন্যই <math>\sigma^2</math> এর চেয়ে কম হতে পারবে না।
কিন্তু আমরা ইতিমধ্যে জানি যে, <math>\hat{A}=x_0</math>, এবং সে হিসেবে <math>\text{var}(\hat{A})=\sigma^2</math>. <math>x[0]</math> যেহেতু নিটাল এবং একইসাথে ক্রামার-রাও সীমি অর্জন করে, সেহেতু এটি নিঃসন্দেহে ন্যূভেনি।
তবে <math>x[0]</math> কে ভালো নিরূপক হিসেবে অনুমান করতে ভুল করলেও আরেক ভাবে ন্যূভেনি নির্ণয় করা যেতো। সেটা হচ্ছে, সমীকরণ ৪ এবং ১০ তুলনা করে। তুলনা করলে দেখা যায়, <math>\theta=A</math>, <math>I(\theta)=1/\sigma^2</math>, এবং <math>g(x[0])=x[0]</math>. এই মানগুলো যেহেতু সমীকরণ ১০ এর শর্তপূরণ করেছে সেহেতু <math>g(x[0])=x[0]</math> ই সর্বোত্তম নিরূপক। এখান থেকে আরো দেখা যাচ্ছে,
- <math>\text{var}(\hat{A})=\sigma^2=\frac{1}{I(\theta)}</math>
সুতরাং, সমীকরণ ৯ অনুযায়ী,
({{{3}}})
উল্লেখ্য এই উদাহরণ ক্রামার-রাও সীমা অর্জন করলেও এক্ষেত্রে সমীকরণ ৮ এর শর্ত রক্ষিত হয়নি।
শ্বেত গাউসীয় নয়েজের মধ্যে ডিসি লেভেল
- <math>x[n] = A+w[n]</math>
- <math>p(\mathbf{x}; A) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{N/2}} \exp \left[-\frac{1}{2\sigma^2} \sum\limits_{n=0}^{N-1} (x[n]-A)^2\right]</math>
{{{2}}}
({{{3}}})
-A)</math>|
}}- <math>\frac{\partial^2 \ln p(\mathbf{x}; A)}{\partial A^2} = -\frac{N}{\sigma^2}</math>
<math>\text{var}(\hat{A}) \ge \frac{\sigma^2}{N}</math>
(১৩ )
সমীকরণ ১০, ১২, এবং ১৩ তুলনা করে দেখা যাচ্ছে,
- <math>I(\theta) = \frac{N}{\sigma^2} = \frac{1}{\text{var}_{min}(\hat{A})}</math>
নিটাল নিরূপকটি সিআরএলবি অর্জন করলেই কেবল সমীকরণ ১০ সত্য হয়। যেহেতু সমীকরণটি সত্য হয়েছে সেহেতু বলা যায়, এই উদাহরণের নিরূপক ক্রামার-রাও নিম্নসীমা অর্জন করেছে। সুতরাং এটি নিঃসন্দেহে ন্যূভেনি।
দশা নিরূপণ
এই উদাহণের জন্য প্রথমেই একটি অনুসিদ্ধান্ত জেনে নেয়া প্রয়োজন: যদি ক্রামার-রাও নিম্নসীমা অর্জিত হয়, তাহলে,
- <math>\text{var}(\hat{\theta}) = \frac{1}{I(\theta)}</math>
যার দৃষ্টান্ত আমরা প্রথম উদাহরণটিতেই পেয়েছি। <math>I(\theta)</math> এর সংজ্ঞাও প্রথম উদাহরণের সমীকরণ ১৪ তে দেয়া হয়েছে।
সুতরাং কোনো নিরূপক ক্রামার-রাও নিম্নসীমা অর্জন করছে কি-না তা বুঝার সহজ উপায়, ক্রামার-রাও অসমতা থেকে পাওয়া ভেদাঙ্কের সাথে <math>I(\theta)</math> উপর্যুক্ত সম্পর্কের সত্যতা যাচাই। সেটাই আমরা এই উদাহরণে করব।
ধরা যাক, আমরা নয়েজে প্রোথিত একটি সাইনুসয়েড এর দশা (<math>\phi</math>) নিরূপণ করতে চাই, যেখানে বিস্তার, কম্পাঙ্ক, ও নয়েজের পিডিএফ আমাদের জানা আছে। উপাত্ত,
- <math>x[n] = A\cos(\omega_0 n+\phi)+w(n)</math>
অজানা রাশির (দশা) সাপেক্ষে উপাত্তের পিডিএফ,
- <math>p(\mathbf{x}; \phi) = \frac{1}{(2\pi\sigma^2)^{N/2}} \exp\left\{ -\frac{1}{2\sigma^2} \sum\limits_{n=0}^{N-1} [x[n] - A\cos(\omega_0 n+\phi)+w(n)]^2 \right\}</math>
({{{3}}})
- <math>\frac{\partial^2 \ln p(\mathbf{x}; \phi)}{\partial \phi^2} = -\frac{A}{\sigma^2} \sum\limits_{n=0}^{N-1} [x[n]\cos(\omega_0 n+\phi) - A \cos(2\omega_0 n+\phi)]</math>
- <math>-E\left[\frac{\partial^2 \ln p(\mathbf{x}; \phi)}{\partial \phi^2}\right] \approx \frac{NA^2}{2\sigma^2}</math>
- <math>\text{var}(\hat{\phi}) \ge \frac{2\sigma^2}{NA^2}</math>
এখানে নিরূপকের ভেদাঙ্ক দুই কারণে কমতে পারে: উপাত্তের পরিমাণ (N) বাড়লে, এবং/কিংবা <math>A / \sigma</math> বাড়লে। এখানে স্পষ্টতই শুরুতে উল্লেখ করা শর্তটি পূর্ণ হয়নি। সমীকরণ ১০ এর সাথে ১৫ তুলনা করলেই তা বুঝা যায়।
কোনো উপাত্তের ন্যূভেনি আছে কি-না তা কিভাবে নির্ণয় করতে হয় তা আমরা পরবর্তীতে আলোচনা করব।
নিরূপকের কার্যকারিতা ও ফিশার তথ্য
ধরা যাক আমাদের হাতে দু'টি ন্যূভেনি আছে, যাদের একটি ক্রামার-রাও নিম্নসীমা অর্জন করে, এবং আরেকটি করে না। যেটি অর্জন করে সেটি বেশি কার্যকরী হবে, কারণ সেটি বেশি কার্যকরভাবে উপাত্ত ব্যবহার করতে পারে।
উপরের চিত্রে তিনটি নিরূপকের ভেদাঙ্ক অজানা রাশির সাপেক্ষে প্লট করা হয়েছে। বাম পাশের তিনটি নিরূপকের মধ্যে <math>\hat{\theta}_1</math> সবচেয়ে কার্যকরী, কারণ এটি ক্রামার-রাও নিম্নসীমা অর্জন করে, এবং সেহেতু এটি একইসাথে ন্যূভেনি। কিন্তু ডান পাশের তিনটি নিরূপকের মধ্যে কোনোটিই নিম্নসীমা পর্যন্ত পৌঁছুতে পারে না। তবে এদের মধ্যে <math>\hat{\theta}_1</math> এর ভেদাঙ্ক যেহেতু অজানা রাশিটির সকল মানের জন্যই সবচেয়ে কম সেহেতু এটি ন্যূভেনি। ন্যূভেনি হলেও এটি কার্যকর নয়।
সমীকরণ ৯ এ ক্রামার-রাও নিম্নসীমার যে রূপ দেখানো হয়েছে সেটি ছাড়াও তার আরেকটি রূপ আছে, উপপাদ্যটি প্রমাণ করার সময় যার কিছুটা ইঙ্গিত দেয়া হয়েছে। অন্য রূপটি হচ্ছে:
-
<math>\text{Var}(\hat(\theta)) \ge \frac{1}{E\left[\left(\frac{\partial \ln p(\mathbf{x};\theta)}{\partial\theta}\right)^2\right]}</math>
(১৬ )
উপরের সমীকরণের ডান পক্ষের হরটিকে বলা হয় <math>\mathbf{x}</math> উপাত্তের ফিশার তথ্য। একে প্রকাশ করা হয় এভাবে:
-
({{{3}}})
আমরা ইতিমধ্যেই দেখেছি যে, সিআরএলবি অর্জিত হলে ভেদাঙ্ক ফিশার তথ্যের বিপ্রতীপ মানের সমান হয়। সুতরাং ফিশার তথ্য যত বেশি, ভেদাঙ্ক তত কম, সিআরএলবি তত ছোটো, যেটা খুব স্বাভাবিক। এই তথ্যের বৈশিষ্ট্য হচ্ছে:
- অঋণাত্মক
- স্বাধীন পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে যোজনমূলক
দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটির কারণেই একটি পর্যবেক্ষণের সিআরএলবি-র তুলনায় N সংখ্যক পর্যবেক্ষণের সিআরএলবি 1/N গুণ, অর্থাৎ,
- <math>I(\theta) = Ni(\theta)</math>
যেখানে,
- <math>i(\theta) = -E\left[\frac{\partial^2 \ln p(\mathbf{x}[n];\theta)}{\partial\theta^2}\right]</math>
একটি পর্যবেক্ষণের ফিশার তথ্য।
পর্যবেক্ষণের সবগুলো নমুনা যদি পরস্পর স্বাধীন না হয় তাহলে ফিশার তথ্য <math>Ni(\theta)</math> এর চেয়ে কম হবে। আর একেবারে পরাধীন পর্যবেক্ষণের ক্ষেত্রে, যেমন যদি সবগুলো পর্যবেক্ষণ পরস্পরের সমান হয় (<math>x[0]=x[1]=...=x[N-1]</math>) তাহলে <math>I(\theta)=i(\theta)</math>. সুতরাং এই ক্ষেত্রে বেশি পর্যবেক্ষণ করে কোনো লাভ নেই যেহেতু একটির সাথে আরেকটির কোনো পার্থক্য নেই; নমুনা বাড়লেও সিআরএলবি কমবে না।
রাশি রূপান্তর
এতক্ষণ আমরা অজানা রাশিটি নিরূপণের চেষ্টা করেছি। কিন্তু বাস্তবে আমাদের এমন কিছু নির্ণয় করতে হতে পারে যা আরো মৌলিক কোনো রাশির অপেক্ষক। অর্থাৎ <math>\theta</math> এর বদলে আমাদেরকে কোনো <math>\alpha=g(\theta)</math> নির্ণয় করতে হতে পারে। এখন এই রূপান্তরিত রাশি নিয়েই আলোচনা করব। রাশিটিকে যদি কোনো রৈখিক অপেক্ষকে রূপান্তরিত করা হয় তাহলে আমাদের পদ্ধতিতে কোনো পরিবর্তন আসবে না, কারণ এক্ষেত্রেও পূর্বতন নিরূপকটি নিটাল হবে। কিন্তু অরৈখিক রূপান্তরের ক্ষেত্রে নিরূপকটি পুরোপুরি টাল হয়ে যেতে পারে।
ধরা যাক আমাদের নিরূপক, <math>\hat{\alpha}</math>, তাহলে ক্রামার-রাও নিম্নসীমার অসমতায় ডান পক্ষের লবে ১ এর বদলে পূর্ণরূপটি বসবে,
- <math>\text{var}(\hat{\alpha}) \ge \frac{\left(\frac{\partial g(\theta)}{\partial\theta}\right)^2}{-E\left[\frac{\partial^2\ln p(\mathbf{x}; \theta)}{\partial\theta^2}\right]}</math>
ধরি, <math>\alpha=g(A)=A^2</math> (<math>\theta</math> এর বদলে A ব্যবহার করছি), তাহলে,
- <math>\text{var}(\hat{A^2}) \ge \frac{(2A)^2}{N/\sigma^2} = \frac{4A^2\sigma^2}{N}</math>
আমরা উদাহরণ ৩.২ এ দেখেছি যে, সিআরএলবি অর্জনকারী নিরূপক ছিল নমুনা গড় (sample mean) নিরূপক <math>\bar{\mathbf{x}}</math> (সমীকরণ ১২)। এখন A এর বদলে <math>A^2</math> রাশির ক্ষেত্রেও এই নিরূপক নিটাল ও ন্যূনতম ভেদাঙ্ক বিশিষ্ট কি না দেখা যাক। আমাদের নতুন নমুনা গড় নিরূপক হবে <math>\bar{x}^2 \sim \mathcal{N}(A,\sigma^2/N)</math> যার প্রত্যাশা (<math>E(\bar{x}^2)</math>) নিচে নির্ণয় করা হয়েছে:
- <math>\text{var}(\bar{x}) = E\{\bar{x}^2 - E(\bar{x})\}</math>
- <math>\Rightarrow E(\bar{x}^2) = E^2(\bar{x}) + var(\bar{x}) = A^2+\frac{\sigma^2}{N} \ne A^2</math>
স্পষ্টতই দেখা যাচ্ছে, আমাদের অরৈখিক অপেক্ষকের নিরূপক নিটাল নয়, কারণ তা প্রকৃত মান দেয়নি। মনে রাখতে হবে উদাহরণ ৩.২ এ <math>E(\bar{x})=A</math> ছিল। এ থেকে প্রমাণিত হয় যে, অজানা রাশির অরৈখিক রূপান্তরের পর নিরূপকটি আর নিটাল থাকে না, এবং তার কার্যকারিতা পুরোপুরি ধ্বংস হয়ে যায়।
কিন্তু রৈখিক রূপান্তরের ক্ষেত্রে যে কার্যকারিতার কোনো হেরফের ঘটে না সহজেই প্রমাণ করা যায়। এজন্য ধরি, <math>\alpha=g(\theta)=a\theta+b</math> এবং সে হিসেবে নতুন নিরূপক, <math>\hat{g(\theta)} = g(\hat{\theta}) = a(\hat{\theta})+b</math>. তাহলে,
- <math>E(a(\hat{\theta})+b) = aE(\hat{\theta})+b = a\theta+b = g(\theta)</math>।
অর্থাৎ <math>\hat{g(\theta)}</math> নিটাল। এর সিআরএলবি হবে,
- <math>var(\hat{g(\theta)}) \ge \frac{\left(\frac{\partial g}{\partial \theta}\right)^2}{I(\theta)} = a^2 var(\hat{\theta})</math>
কিন্তু আমরা জানি, <math>var(\hat{g(\theta)}) = var(a(\hat{\theta})+b) = a^2 var(\hat{\theta})</math> যা উপরের সমীকরণের ডান পক্ষের সমান। সুতরাং সিআরএলবি অর্জিত হয়েছে। রৈখিক রূপান্তর নির্ঝঞ্জাট প্রমাণিত হয়েছে।
অজানা অরৈখিক অপেক্ষকও একটি শর্ত সাপেক্ষে নিটাল হতে পারে, এবং সিআরএলবি অর্জন করতে পারে। শর্তটি হচ্ছে যথেষ্ট পরিমাণ উপাত্ত থাকা। এটা প্রমাণ করার জন্য আমরা উপরের অরৈখিক অপেক্ষকটি আবার নেব এবং এবার উপাত্তের পরিমাণ <math>N \rightarrow \infty</math> ধরব। তাহলে,
- <math>var(\bar{x}^2) = E(\bar{x}^4) - E^2(\bar{x}^2)</math>
আমরা জানি, যেকোনো দৈব ভেক্টর <math>\xi \sim \mathcal{\mu,\sigma^2}</math> এর ক্ষেত্রে,
- <math>E(\xi^2) = \mu^2+\sigma^2</math>
- <math>E(\xi^4) = \mu^4 + 6\mu^2\sigma^2 + 3\sigma^4</math>
- <math>\therefore var(\xi^2) = E(\xi^4) - E^2(\xi^2) = 4\mu^2\sigma^2 + 2\sigma^4</math>
যা পূর্বোক্ত সমীকরণে প্রয়োগ করে পাই,
- <math>var(\bar{x}^2) = \frac{4A^2\sigma^2}{N} + \frac{2\sigma^4}{N^2}</math>
N বাড়তে থাকলে উপরের সমীকরণের ডান পক্ষের দ্বিতীয় রাশিটি প্রথমটির তুলনায় দ্রুত শূন্যের পানে ধাবিত হয়, এবং আমরা কেবল প্রথম অংশটি পাই। তাই বলা যায় উপাত্তের পরিমাণ যথেষ্ট বেশি হলে অরৈখিক অপেক্ষকের নিরূপকও সিআরএলবি অর্জন করতে পারে। এর সজ্ঞাগত কারণটা নিচের ছবির মাধ্যমে দেখানো সম্ভব:
উপরের ছবি দু'টিতেই অনুভূমিক অক্ষে মৌলিক অজানা রাশি <math>\bar{x}</math> এবং উল্লম্ব অক্ষে অরৈখিক নিরূপক এবং উপাত্তের পিডিএফ প্রদর্শিত হয়েছে। বামের চিত্রে উপাত্তের পরিমাণ (N) তুলনামূলক কম। দেখা যাচ্ছে উপাত্তের পরিমাণ বেশি হওয়ায় ডানের চিত্রে নিরূপকের যে অংশটি পিডিএফ এর মধ্যে সেটুকু প্রায় রৈখিক। অর্থাৎ যথেষ্ট উপাত্ত থাকলে অরৈখিক নিরূপকও এক ধরণের পারিসাংখ্যিক রৈখিকতা প্রদর্শন করে, এবং তথাপি নিটাল হয় ও সিআরএলবি অর্জন করতে পারে।
তাত্ত্বিকভাবে অরৈখিক নিরূপকটিকে রৈখিক বানিয়েও এটা প্রমাণ করা যায়,
- <math>g(\bar{x}) \approx g(A) + \frac{dg(A)}{dA}(\bar{x}-A)</math>