কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/ফুরিয়ে রূপান্তর
ডিপথট থেকে
<< শর্তাধীন সম্ভাবনা | কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ | নিরূপণ তত্ত্ব >> |
প্রশিক্ষক: খান মুহাম্মদ বিন আসাদ |
<math>\mathcal{F}\{f(t)\} = \tilde{f}(\omega) = \int\limits_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t} \ dt</math>
<math>f(t) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^\infty \tilde{f}(\omega) e^{i\omega t} \ d\omega</math>
<math>\mathcal{F}\left\{ \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-x^2/(2\sigma^2)} \right\} = e^{-\omega^2\sigma^2/2}</math>
Characteristics:
- linearity, <math>\mathcal{F}\{f+g\} = \mathcal{F}\{f\}+\mathcal{F}\{g\}</math>
- time shift, <math>\mathcal{F}\{f(t-t_0)\} = e^{-i\omega t_0} \mathcal{F}\{f(t)\}</math>
- modulation, <math>\mathcal{F}\{e^{i\omega_0 t}f(t)\} = \tilde{f}(\omega-\omega_0)</math>
- scaling, <math>\mathcal{F}\{f(at)\} = \frac{1}{|a|} \tilde{f} \left(\frac{\omega}{a}\right)</math>
- conjugation, if <math>h(t)=f^*(t)</math>, <math>\tilde{h}(\omega) = \tilde{f}(-\omega)</math>. if <math>f</math> is real, <math>\tilde{f}^*(\omega) = \tilde{f}^*(-\omega)</math>
- convolution, <math>f(t)*g(t) \equiv \int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(t-\tau) \ d\tau</math>. <math>\mathcal{F}\{f(t)*g(t)\} = \tilde{f} . \tilde{g}</math>
- Parseval's theorem, <math>\int_{-\infty}^\infty f(t)g(t) \ dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty </math>