কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/শর্তাধীন সম্ভাবনা
<< দৈব ভেক্টর ও প্রক্রিয়া | কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ | প্রত্যাশা ও পরিঘাত >> |
প্রশিক্ষক: খান মুহাম্মদ বিন আসাদ |
ধরি, A এবং B যদি দু'টি দৈব চলক। A ঘটলে B ঘটার সম্ভাবনা কত তা <math>p(B|A)</math> দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এজন্যই এদেরকে শর্তাধীন সম্ভাবনা বলা হয়। একটি সর্বজনীন সূত্র হচ্ছে,
- <math>\text{Pr}[A,B] = \text{Pr}[B|A] \ \text{Pr}[A]</math>
যা থেকে সহজেই প্রমাণ করা যায়,
- <math>\Rightarrow p(x|y) = \frac{p(x,y)}{p(y)}</math>
যদি <math>p(x,y)=p(x)p(y)</math> হয়, তাহলে <math>\Rightarrow p(x|y) = p(x)</math>.
শর্তাধীন সম্ভাবনার সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ নীতি হচ্ছে বেইজের উপপাদ্য। এই উপপাদ্য প্রমাণ করার জন্য প্রথমে বুঝতে হবে,
- <math>p(x,y) = p(x|y) \ p(y) = p(y|x) \ p(x)</math>
উপরের সমীকরণ সত্য হলে প্রমাণ করা যায় যে,
- <math>\Rightarrow p(y|x) = \frac{p(x|y) \ p(y)}{p(x)}</math>
উপরের সমীকরণটিই বেইজের নীতির গাণিতিক রূপ। এর ব্যাখ্যা নিয়ে গণিতবিদদের মধ্যে দীর্ঘদিন বিতর্ক চলেছে। একদলের ব্যাখ্যা ছিল বেইজীয়, আর অন্যদলের ব্যাখ্যা ফ্রিকুয়েন্টিস্ট। বেইজের নীতি প্রকাশ করার আরেকটি উপায় হচ্ছে:
- <math>p(y|x)= \frac{p(x|y) \ p(y)}{\int_{-\infty}^\infty p(x|y) \ p(y) \ dy}</math>
বেইজের নীতি পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণে খুব কাজে দেয়। উপরের সম্ভাব্যতাটি তখনই কাজে দেয় যখন, y দৈব ভেক্টরটি আমাদেরকে পরিমাপ করতে হয়, এবং x দৈব ভেক্টর, যা y এর সাথে সম্পর্কিত, জানা থাকে।
এই প্রেক্ষিতে <math>p(y)</math> কে প্রাক-পিডিএফ বলা হয়, কারণ তা x পরিমাপ করার আগে অজানা রাশিটির নির্ণীত পিডিএফ। আর <math>p(y|x)</math> কে বলা হয় উত্তর-পিডিএফ, কারণ এটি x ঘটে গেলে তারপর y ঘটার সম্ভাবনা প্রকাশ করে।
উদাহরণ
ধরা যাক y একটি দ্বিমাত্রিক দৈব চলক যার পিডিএফ:
- <math>p(\mathbf{y}) = A_1 \delta^D(\lVert \mathbf{y}-\mathbf{a}_1 \rVert) + A_2 \delta^D (\lVert \mathbf{y}-\mathbf{a}_2 \rVert)</math>
যেখানে <math>A_1+A_2=1</math> এবং <math>\mathbf{a}_1</math> ও <math>\mathbf{a}_2</math> দু'টি ধ্রুবক ভেক্টর। আরো ধরা যাক, <math>\mathbf{x}</math> এর শর্তাধীন সম্ভাবনা,
- <math>p(\mathbf{x}|\mathbf{y}) = \frac{1}{\pi} e^{-\lVert \mathbf{x}-\mathbf{y} \rVert^2}</math>
এখান থেকে প্রথমে <math>p(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = p(\mathbf{x}|\mathbf{y}) p(\mathbf{y})</math> নির্ণয় করতে হবে, এবং তারপর একে <math>\mathbf{y}</math> এর সাপেক্ষে প্রান্তিকায়িত (মার্জিনালাইজ) করলে পাওয়া যাবে,
- <math>p(\mathbf{x}) = \frac{1}{\pi} \left[A_1 e^{\lVert \mathbf{x}-\mathbf{a}_1 \rVert^2} + A_2 e^{\lVert \mathbf{x}-\mathbf{a}_2 \rVert^2}\right]</math>
এখান থেকে সহজেই উত্তর-পিডিএফ নির্ণয় করা যায়,
- <math>p(\mathbf{y}|\mathbf{x}) = A_1'(\mathbf{x}) \delta^D(\lVert \mathbf{y}-\mathbf{a}_1 \rVert) + A_2'(\mathbf{x}) \delta^D (\lVert \mathbf{y}-\mathbf{a}_2 \rVert)</math>
যেখানে,
- <math>A_i' = \frac{A_i e^{\lVert \mathbf{x}-\mathbf{a}_i \rVert^2}}{A_1 e^{\lVert \mathbf{x}-\mathbf{a}_1 \rVert^2} + A_2 e^{\lVert \mathbf{x}-\mathbf{a}_2 \rVert^2}}</math>
এবং আবারও <math>A_1'(\mathbf{x})+A_2'(\mathbf{x})=1</math>