কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/নিরূপণ তত্ত্ব
<< ফুরিয়ে রূপান্তর | কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ | ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিটাল নিরূপক >> |
প্রশিক্ষক: খান মুহাম্মদ বিন আসাদ |
ভূমিকায় উল্লেখ করেছিলাম যে, উপাত্ত থেকে একটি নির্দিষ্ট রাশির মান নির্ণয়ের জন্য আমরা রাশিটির নিরূপক ব্যবহার করি। সর্বাধিক ব্যবহৃত প্রতীকগুলো হচ্ছে, উপাত্ত <math>x</math>, রাশি <math>\theta</math>, এবং রাশিটির নিরূপক <math>\hat{\theta}</math>, আর যদি নিরূপকটি একটির বদলে N সংখ্যক উপাত্ত বিন্দুর উপর নির্ভর করে তাহলে নিরূপককে লিখা হয় <math>\hat{\theta}_N</math> আকারে। দৈব চলকের বদলে দৈব ভেক্টর হলে এই সবগুলো প্রতীককে মোটা অক্ষরে লিখতে হবে। এরপর থেকে আমরা মোটা অক্ষরেই লিখব, যেহেতু আমাদের আলোচ্য বিষয় ভেক্টর, একটিমাত্র চলক নয়।
নিরূপকের তিনটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য আছে: নিটাল (unbiased), সঙ্গতিপূর্ণ (consistent), এবং কার্যকর (efficient)।
নিটাল
একটি নিরূপক, <math>\hat{\mathbf{\theta}}_N = g(\mathbf{x})</math> কে তখনই নিটাল বলা যাবে যখন,
- <math>E\{\hat{\mathbf{\theta}}_N\} = \hat{\mathbf{\theta}}</math>
হবে। অর্থাৎ নিরূপকটি দিয়ে নির্ণীত মান প্রকৃত রাশিটির একেবারে সমান হবে। আর যদি সমান না হয় তাহলে নিরূপকটি হবে টাল, আর টাল-এর মান হবে,
- <math>b(\hat{\mathbf{\theta}}) = E\{\hat{\mathbf{\theta}}_N\} - \hat{\mathbf{\theta}}</math>
সঙ্গতিপূর্ণ
একটি নিরূপককে সঙ্গতিপূর্ণ বলা হয় যদি উপাত্তের পরিমাণ বাড়াতে থাকলে এটি রাশিটির প্রকৃত মান অর্থাৎ <math>\theta</math> এর দিকে অভিসারী হতে থাকে। এক্ষেত্রে উপাত্তের পরিমাণ অসীম হলে, নিরূপকের মান প্রকৃত মানের সমান হয়ে থাকে। গাণিতিকভাবে,
- <math>\lim\limits_{N\rightarrow\infty}\hat{\mathbf{\theta}}_N = \int\limits_{-\infty}^\infty g(\mathbf{x}) p(\mathbf{x}) dx = \mathbf{\theta} </math>
মোদ্দাকথা, উপাত্ত যত বেশি সঙ্গতিপূর্ণ নিরূপকের মান প্রকৃত মানের তত কাছাকাছি।
কার্যকর
ধরা যাক, আমাদের হাতে দু'টি নিরূপক <math>\hat{\mathbf{\theta}}_N</math> এবং <math>\check{\mathbf{\theta}}_N</math>. এর প্রথমটিকে দ্বিতীয়টির তুলনায় বেশি কার্যকর বলা হবে যদি,
- <math>\text{Var}(\hat{\mathbf{\theta}}_N) < \text{Var}(\check{\mathbf{\theta}}_N)</math>
নিরূপণ তত্ত্বের আলোচনায় এই বিষয়গুলো খুব ব্যবহার করা হবে। কারণ এগুলো দিয়েই আমরা বুঝতে পারব কোন নিরূপকটি সবচেয়ে ভালো, আর সর্বোত্তম নিরূপক নির্বাচনই নিরূপণ তত্ত্বের প্রধান আলোচ্য বিষয়। বিস্তারিত আলোচনা পেতে হলে কোর্সের প্রধান পাতায় ফিরে গিয়ে সূচিপত্রে নিরূপণ তত্ত্বের অধীনে যে বিষয়গুলো আছে সেগুলো দেখুন। কিংবা এই পাতার একেবারে উপরেও পরবর্তী নিবন্ধটির লিংক দেয়া আছে।