কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিটাল নিরূপক

ডিপথট থেকে
<< নিরূপণ তত্ত্ব কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ ক্রামার-রাও নিম্নসীমা >>
প্রশিক্ষক: খান মুহাম্মদ বিন আসাদ

সর্বোত্তম নিরূপকটি খুঁজে পাওয়ার জন্য কিছু শর্ত ব্যবহার করতে হবে। এমন একটি শর্ত হতে পারে গড় বর্গ বিচ্যুতি (mean square error, mse),

<math>mse(\hat{\mathbf{\theta}}) = E\{(\hat{\mathbf{\theta}} - \mathbf{\theta})^2\}</math>

অর্থাৎ নিরূপক ও প্রকৃত মানের পার্থক্য। শুনতে ভালো শুনালেও আসলে এর মধ্যে সমস্যা আছে। কারণ এটি স্বয়ং টালের উপর নির্ভর করে, যা নিচে প্রমাণ করে দেখানো হয়েছে।

<math>

\begin{align} mse(\hat{\mathbf{\theta}}) &= E\{ [(\hat{\mathbf{\theta}} - E\{\hat{\mathbf{\theta}}\}) + (E\{\hat{\mathbf{\theta}}\} - \mathbf{\theta})]^2\} \\ &= E\{ [(\hat{\mathbf{\theta}} - E\{\hat{\mathbf{\theta}}\}) + b(\theta)]^2\} \\ &= \text{Var}\{\hat{\theta}\} + b^2(\theta) \end{align} </math>

এই সমীকরণ থেকে এটাও বুঝা যাচ্ছে যে, কোনো রাশির মান নিরূপণের ক্ষেত্রে আমাদের যে বিচ্যুতি হয় তা দু'টি উৎস থেকে আসে: নিরূপকের ভেদাঙ্ক, এবং উপাত্তের টাল বা বায়াস।

একটি উদাহরণের মাধ্যমে কেবল গড় বর্গ বিচ্যুতির উপর ভিত্তি করে নিরূপক নির্মাণের সীমাবদ্ধতা ফুটিয়ে তোলা সম্ভব। ধরা যাক, A রাশিটির মান নির্ণয়ের জন্য আমাদের নিরূপকটি এমন:

<math>\hat{A} = a\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N x[n]</math>

আমরা নির্ভর করব গড় বর্গ বিচ্যুতির উপর। সুতরাং এক্ষেত্রে আমাদেরকে a এর এমন মানটি বের করতে হবে যার জন্য বিচ্যুতি সর্বনিম্ন হয়। এমএসই কে a এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করলে যা পাওয়া যায় সেটাকে শূন্যের সমান ধরে নিলেই a এর অত্যানুকূল মানটি পাওয়া সম্ভব। এমএসই নির্ণয়ের জন্য উপরের সমীকরণ মোতাবেক, আমাদেরকে ভেদাঙ্ক ও টাল জানতে হবে। এই কোর্সের ভূমিকা অংশে যেমনটা দেখানো হয়েছে ঠিক সেভাবেই দেখানো সম্ভব যে, এই উদাহরণের ক্ষেত্রে <math>aA</math> আর টাল <math>a^2\sigma^2/N</math>. তাহলে,

<math>mse(\hat{A}) = \frac{a^2\sigma^2}{N} + (aA-A)^2</math>

উভয় পক্ষকে a এর সাপেক্ষে ব্যবকলন করে, এবং এমএসই-এর ব্যবকলনের মান শূন্য ধরে অত্যানুকূল a এর মান নির্ণয় করা যায়, যা হবে,

<math>a_{opt} = \frac{A^2}{A^2+\sigma^2/N}</math>

দেখা যাচ্ছে যে রাশির মান নির্ণয় করতে হবে আমাদের অত্যানুকূল নিরূপক স্বয়ং সেই রাশিটির উপরই নির্ভর করছে যা কাম্য নয়, কারণ এই কারণেই নিরূপকটি unrealisable হয়ে যাবে। তাই আমাদেরকে অন্য পথ দেখতে হবে।

প্রথমেই যেটা করতে হবে তা হল, একটা আনবায়াজড তথা নিটাল নিরূপক বের করা। কারণ বায়াস ছিল বলেই আমাদের উপরের সমীকরণে A প্রবেশ করতে পেরেছে। এমএসই এর সমীকরণ থেকে আমরা দেখেছি যে, টাল না থাকলে বিচ্যুতির একমাত্র কারণ ভেদাঙ্ক, আর সেই ভেদাঙ্কও যদি সর্বনিম্ন হয় তাহলে তো কথাই নেই। এ কারণেই ন্যূনতম ভেদাঙ্কের নিটাল নিরূপক (ন্যূভেনি) এতটা কাম্য।

কিন্তু ন্যূভেনি সব সময় থাকবেই এমন কোনো কথা নেই। নিচের ছবিটি দিয়ে তা সুন্দরভাবে বুঝানো সম্ভব:

Existence of MVUE (from M. Kay).png

উপরের দু'টি ছবিতেই অনুভূমিক অক্ষে প্রকৃত রাশি, এবং উল্লম্ব অক্ষে নিরূপকের ভেদাঙ্ক দেখানো হয়েছে। বামের ছবিতে স্পষ্টতই প্রকৃত রাশির সকল মানের জন্য একটি ন্যূনতম ভেদাঙ্ক পাওয়া গেছে। কিন্তু ডানের ছবিতে দেখা যাচ্ছে <math>\theta</math> এর মানের উপর নির্ভর করে দু'টি ভেদাঙ্ক ন্যূনতম হতে পারে। <math>\theta < \theta_0</math> হলে <math>\hat{\theta_2}</math> নিরূপকের ভেদাঙ্ক সবচেয়ে কম, আর অন্য ক্ষেত্রে <math>\hat{\theta_2}</math> এর ভেদাঙ্ক সবচেয়ে কম। তাই ডানের চিত্রের ক্ষেত্রে কোনো ন্যূভেনি নেই।

ন্যূভেনি থাকলেই যে তা নির্ণয় করা যাবে তেমন কোনো কথাও নেই। অনেক সময়ই ন্যূভেনি আমাদের জানা হয়ে উঠে না। তবে জানার জন্য তিনটি উপায় অবলম্বন করা যেতে পারে:

  1. প্রথমে ক্রামার-রাও নিম্নসীমা (যা পরবর্তী লেকচারে আলোচিত হবে) নির্ণয়, এবং তারপর দেখা কোনো নিরূপক সেই শর্ত পূরণ করে কি না।
  2. রাও-ব্ল্যাকওয়েল-লেমান-শেফে উপপাদ্য প্রয়োগ।
  3. নিরূপককে কেবল নিটালই নয়, বরং একইসাথে রৈখিক ধরে নেয়া। এরপর সেই রৈখিক ধরণের নিরূপকগুলোর মধ্যে ন্যূনতম ভেদাঙ্কের টি বের করা।