ফুরিয়ে বিশ্লেষণ

ডিপথট থেকে

ফুরিয়ে বিশ্লেষণ দুই ধরণের: সিরিজ বা ট্রান্সফর্ম। সিরিজ প্রধানত পর্যাবৃত্ত ঘটনা নিয়ে ঘাটাঘাটি করে, যেখানে ট্রান্সফর্ম সব ধরণের ঘটনা বিশ্লেষণেই উপস্থিত।

সিরিজ বা ট্রান্সফর্ম প্রতি ক্ষেত্রেই আমরা দুটি কাজ করতে পারি: সংশ্লেষণ এবং বিশ্লেষণ। বিশ্লেষণ মানে হচ্ছে একটি সংকেতকে অপেক্ষাকৃত সরল উপাদানে বিভক্ত করা। আর সংশ্লেষণ অর্থ সরল উপাদানগুলোর সমন্বয়ে মূল সংকেত তৈরি করা।

অনেকে ফুরিয়ে বিশ্লেষণকে লিনিয়ার সিস্টেমস-এর অংশ মনে করেন। কারণ ফুরিয়ে বিশ্লেষণের সবকিছু কেবলমাত্র লিনিয়ার অপারেশন দিয়েই করা যায়। বিশ্লেষণ বা সংশ্লেষন করতে আমাদের কেবল সমাকলন অথবা ধারা অর্থাৎ সিরিজের প্রয়োজন পড়ে। এই দুটোই লিনিয়ার অপারেশন। সমাকলনও তো এক ধরণের সমষ্টিকরণ।

কাহিনীর সূচনা যেহেতু পর্যাবৃত্ত ঘটনা নিয়েই সেহেতু তাদের আলোচনা দিয়েই শুরু করা যাক।

পর্যাবৃত্ত ঘটনা

পর্যাবৃত্ত মানে হচ্ছে, যে ঘটনার একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর নিয়মিতভাবে পুনরাবৃত্তি ঘটে। এদের সম্পর্কে আলোচনা করা হয় মূলত দুটি শব্দ দিয়ে: পর্যায় এবং কম্পাঙ্ক। সময়ে পর্যাবৃত্ত ঘটনাগুলোকে কম্পাঙ্ক দিয়ে বর্ণনা করা হয়, আর স্থানে পর্যাবৃত্ত ঘটনাগুলোকে বর্ণনা করা হয় পর্যায় দিয়ে। ১ সেকেন্ডে ঘটনাটির যতবার পুনরাবৃত্তি ঘটে সেটাই তার কম্পাঙ্ক। আর স্থানে পুনরাবৃত্তির ক্ষেত্রে গঠনটির যতটুকু অংশের বারবার পুনরাবৃত্তি ঘটে সেটুকুকেই তার পর্যায় বলা যায়।

যেমন একটা বৃত্তাকার তার সম্পূর্ণ প্রতিসম এবং স্থানে পর্যাবৃত্ত জিনিস। এই তারের যেকোন একটা বিন্দুতে তাপমাত্রা পরিমাপ করলে তা স্থানে পর্যাবৃত্ত হবে। কারণ তারটি নিজেই পর্যাবৃত্ত। একই তাপমাত্রা একটা নির্দিষ্ট দূরত্ব পরপর ফিরে পাব আমরা। এই দূরত্বই তার পর্যায়।

পর্যাবৃত্ত ঘটনার আরেকটা বড় বৈশিষ্ট্য হচ্ছে তাদের প্রতিসাম্য, তারা সবাই প্রতিসম। ফুরিয়ে বিশ্লেষণও প্রতিসাম্য নিয়ে অনেক ঘাটাঘাটি করে। অনেক সময় ফাংশনের উপযুক্ত প্রতিসাম্য না থাকলে তার ফুরিয়ে বিশ্লেষণ করা যায় না।

স্থানে এবং কালে পর্যাবৃত্ত- এই দুই ধরণের সংকেতের কথা বলেছি। একটা জায়গায় এসে এই দুই চিন্তাধারার মিলন ঘটে। সেটা হচ্ছে চলমান তরঙ্গ। চলমান তরঙ্গ একইসাথে স্থানে এবং কালে পর্যাবৃত্ত। তার স্থানিক পর্যাবৃত্তি বর্ণনা করা হয় তরঙ্গদৈর্ঘ্য দিয়ে, আর কালিক পর্যাবৃত্তি বর্ণনা করা হয় কম্পাঙ্ক দিয়ে। খুব সাধারণ সূত্র অনুসরণ করে এদের একটা ভয়ানক সম্পর্কও বের করে ফেলা যায়।

দূরত্ব = গতির হার × সময়। তাহলে,
<math>\lambda = v \frac{1}{\nu} \Rightarrow v = \nu\lambda</math>

দেখা যাচ্ছে তরঙ্গদৈর্ঘ্য এবং কম্পাঙ্কের মধ্যে একটা চমৎকার বিপ্রতীপ সম্পর্ক আছে। এটা বোঝা ফুরিয়ে বিশ্লেষণের জন্য খুব গুরুত্বপূর্ণ। কারণ, ফুরিয়ে বিশ্লেষণ যখন করা হয় তখন দুই পক্ষের (বাম ও ডান) মধ্যে এমনি এক বিপ্রতীপ সম্পর্ক থাকে। যেমন, ফুরিয়ে বিশ্লেষণের সময় টাইম-ডোমেইন ও কম্পাঙ্ক-ডোমেইনের মধ্যে বিপ্রতীপ সম্পর্ক থাকে, এছাড়া টাইম-ডোমেইন ও স্থান-ডোমেইন বা কম্পাঙ্ক-ডোমেইন ও স্থান-ডোমেইনের মধ্যেও বিপ্রতীপ সম্পর্ক থাকে। এটার সাথে তরঙ্গদৈর্ঘ্য ও কম্পাঙ্কের সম্পর্ক তুলনা করাটা খুব এনলাইটেনিং।

Circle.png

পর্যাবৃত্ত ঘটনা নিয়ে আলোচনা করার সময় গণিত চলে আসে, কারণ গণিতে এমন অনেক ফাংশন আছে যারা পুরোপুরি পর্যাবৃত্ত আচরণ করে। যেমন আমাদের পুরনো বন্ধু সাইন এবং কোসাইন। এদেরকে আসলে স্থানে পর্যাবৃত্ত ভাবাটা বেশি সুবিধাজনক। আমরা ত্রিকোণমিতি পড়তে গিয়ে সাইন-কোসাইনের সাথে পরিচিত হয় যেটা খুব একটা সুবিধাজনক নয়। বরং এদেরকে বৃত্তের মাধ্যমে বোঝা উচিত। একটু আগেই বৃত্তাকার তারের কথা বলেছি যা স্থানে পর্যাবৃত্ত। এমনই একটা বৃত্তের যেকোন বিন্দুকে সাইন কোসাইন দিয়ে চিহ্নিত করা যায়, কোসাইন হবে x-অক্ষ, আর সাইন হবে y-অক্ষ। তাহলে এদের কেন <math>2\pi</math> দূরত্ব পরপর পুনরাবৃত্তি ঘটে তা বুঝতে আর কোন সমস্যা থাকে না। বৃত্তের পুরো কোণটাই তো <math>2\pi</math>. এই দূরত্ব অতিক্রম করার পর আমরা বৃত্তের যে বিন্দু থেকে যাত্রা শুরু করেছিলাম সেখানেই ফিরে আসি। এই স্থানিক পর্যাবৃত্তি দিয়েই সাইন-কোসাইন বোঝা উচিত। তাহলে <math>2\pi</math> পর্যায়কালের সাইন কোসাইনের ক্ষেত্রে,

<math>\sin (2n\pi+t) = \sin t \text{ where, } n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,......</math>
<math>\cos (2n\pi+t) = \cos t</math>

কনভেশন হচ্ছে, n ধনাত্মক হলে বৃত্তে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে যেতে হবে, আর ঋণাত্মক হলে ঘড়ির কাঁটার দিকে। এই অতি সাধারণ সাইন-কোসাইন দিয়েই জটিল থেকে জটিলতম পর্যাবৃত্ত ঘটনা মডেল করা যায়।