কোর্স:পাসপ্র/সমস্যা ৩.৩.৩
সমস্যা
নিচের অপেক্ষকটি ব্যবহার করে t এর ১০০টি মানের জন্য উপাত্ত তৈরি করো:
- <math>f(t)=\frac{1}{1+t^2}+w(t)</math>
যেখানে <math>w(t)\sim\mathcal{N}(0,0.15^2)</math> এবং <math>t\in[-1,1]</math>
এই নয়েজযুক্ত উপাত্তের সাথে আমরা নিম্নের মতো একটি বহুপদী সমীকরণ ফিট করতে চাই:
- <math>\hat{f}(t) = a_0 + a_1t+a_2t^2+a_3t^3+...</math>
এই মডেলের জন্য ন্যূভেনি-র সমীকরণটি লিখো।
একটি চতুর্থ ঘাতের বহুপদী সমীকরণ উপরের উপাত্তের সাথে ফিট করতে চাইলে সহগগুলোর (<math>a_i</math>) মান কী হবে বের করো।
সমাধান
উপরের মডেলটিকে এভাবে লিখা যায়:
- <math>\mathbf{f} = \mathbf{H}\mathbf{a}+\mathbf{w}</math>
যেখানে,
- <math>\mathbf{f}=[f(t_0), f(t_1), ..., f(t_{N-1})]^T</math>
- <math>\mathbf{H}=\begin{bmatrix}
1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^{p-1} \\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^{p-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & t_{N-1} & t_{N-1}^2 & \cdots & t_{N-1}^{p-1} \end{bmatrix}</math>
- <math>\mathbf{a}=[a_0,a_1,a_2,...,a_{p-1}]^T</math>
তাহলে <math>\mathbf{a}</math> এর নিরূপিত মানগুলো হবে,
- <math>\hat{\mathbf{a}} = (\mathbf{H}^T\mathbf{H})^{-1}\mathbf{H}^T\mathbf{f}</math>
বহুপদী সমীকরণের এই নিরূপিত সহগগুলো বহুপদীটিতে বসালেই আমাদের ফিট করা রেখাটি পেয়ে যাব। নিচের ছবিতে লাল রঙে প্রকৃত অপেক্ষক, নীল রঙে নয়েজযুক্ত উপাত্ত, এবং সবুজ রঙে আমাদের ফিট করা বহুপদী সমীকরণের রেখ দেখানো হয়েছে। ছবিতে ক্লিক করলে যে পাইথন কোড পাওয়া যাবে।