কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ/বাড়ির কাজ ২
ডিপথট থেকে
<< বাড়ির কাজ ১ | কোর্স:পারিসাংখ্যিক সংকেত প্রক্রিয়ণ | বাড়ির কাজ ৩ >> |
প্রশিক্ষক: বাড়ির কাজ ২ |
১
একটি দৈব চলকের (x) বঙ্কিমতা (skewness) হচ্ছে তার ৩য় পরিঘাত:
- <math>S_x = \int_{-\infty}^\infty x^3 p(x) dx = E\left[\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^3\right]</math>
বঙ্কিমতা একটি বিন্যাস কতটা অপ্রতিসম তা নির্ণয় করে। নিচের এক্সপোনেনশিয়াল ফাংশনটির বঙ্কিমতা নির্ণয় করো:
- <math>p(x) = \begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x} & x\ge 0 \\ 0 & x \lt 0 \end{cases}</math>
২
বঙ্কিমতার একটি নিরূপক এমন হতে পারে:
- <math>\hat{S}_x = \frac{\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N (x_i-\bar{x})^3}{\left(\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^N (x_i-\bar{x})^2\right)^{3/2}}</math>
যেখানে <math>\bar{x}</math> হচ্ছে নমুনা গড়। এই নিরূপক ব্যবহার করে প্রমিত রেলি বিন্যাসের বঙ্কিমতা নির্ণয় করতে হবে। রেলি বিন্যাস এমন:
- <math>p(x) = xe^{-x^2/2}</math>
- x এবং y এর প্রতিটি উপাদান যদি একটি প্রমিত গাউসীয় বিন্যাস থেকে এসে থাকে এবং <math>z=\sqrt{x^2+y^2}</math> প্রমিত রেলি বিন্যাস মেনে চলে তাহলে একটি কম্পিউটার প্রোগ্রামের মাধ্যমে N সংখ্যক নমুনা তৈরি করো যার প্রতিটি একটি প্রমিত রেলি বিন্যাস থেকে নেয়া।
- N এর বিভিন্ন মানের জন্য কম্পিউটার প্রোগ্রামের মাধ্যমে নমুনা গড়, নমুনা ভেদাঙ্ক, নমুনা বঙ্কিমতা, ও নমুনা সূঁচালতা (কার্টোসিস) নির্ণয় করো।
সমাধান
নিচের ম্যাটল্যাব স্ক্রিপ্ট দিয়ে কাজ হবে:
function main
clear all; close all; clc;
Nsamples = [50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 20000 40000 50000 100000 2000000];
sk = zeros(length(Nsamples),1);
ku=sk; mn=sk; vr=sk;
for i = 1:length(Nsamples)
x = randn(Nsamples(i),1);
y = randn(Nsamples(i),1);
z = sqrt(x.^2+y.^2);
mn(i) = mean(z);
vr(i) = var(z);
sk(i) = skew(z);
ku(i) = kurt(z);
end
semilogx(Nsamples, [mn,vr,sk,ku], '.-', 'Linewidth', 1.5, 'Markersize', 10);
grid on;
legend ('Mean', 'Variance', 'Skewness', 'Kurtosis');
xlabel('Number of data samples');
ylabel('Moments');
end
function sk = skew(in)
sm = mean(in); n = length(in);
nom = 1/n*sum((in-sm).^3);
den = (1/n*sum((in-sm).^3)).^1.5;
sk = nom/den;
end
function ku = kurt(in)
sm = mean(in); n = length(in);
nom = 1/n*sum((in-sm).^4);
den = (1/n*sum((in-sm).^2)).^2;
ku = nom/den;
end
ফলাফল হিসেবে নিচের প্লটটি পাওয়া যাবে:
ছবি থেকে স্পষ্টই বুঝা যাচ্ছে যে, উপাত্তের পরিমাণ যত বৃদ্ধি পায় মানগুলো ততই আসল মানের কাছাকাছি পৌঁছাতে থাকে।