সমবর্তন

ডিপথট থেকে

তড়িচ্চুম্বকীয় তরঙ্গ কোন এক নির্দিষ্ট দিকে আন্দোলিত হতে থাকলে তাকে সমবর্তিত তরঙ্গ বলে। একে তিনটি গাণিতিক উপায়ে প্রকাশ করা যায়: সমবর্তন উপবৃত্ত, পোয়াকারে গোলক ও স্টোকস প্যারামিটার।

সমবর্তন উপবৃত্ত

যেকোন তড়িচ্চুম্বকীয় তরঙ্গকে দুটি উপাংশে ভাগ করা যায়। তরঙ্গটিকে দুটি উপাংশের সমষ্টি হিসেবে বিবেচনা করা যায়। দুই উপাংশের আন্দোলনের প্রকৃতি বিবেচনার মাধ্যমেই সমবর্তন সবচেয়ে ভালভাবে বোঝা সম্ভব। তাই দুটি উপাংশকে গাণিতিকভাবে প্রকাশ করে ফেলা যাক,

<math>E_x = A_x \sin\left(2\pi\nu t - \frac{2\pi}{\lambda} z\right) = A_x \sin\left(\omega t - \beta z\right)</math>
<math>E_y = A_y \sin\left(2\pi\nu t - \frac{2\pi}{\lambda} z + \delta\right) = A_y \sin\left(\omega t - \beta z + \delta\right)</math>

<math>\delta</math> দুটি উপাংশের মধ্যে দশা পার্থক্য। তরঙ্গটি অবশ্যই z দিকে প্রবাহিত হচ্ছে। তাহলে মোট তরঙ্গ হবে,

<math>\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y = \hat{x} A_x \sin\left(\omega t - \beta z\right) + \hat{y} A_y \sin\left(\omega t - \beta z + \delta\right)</math>

এখন z=0 অর্থাৎ যাত্রার একেবারে শুরুতে,

<math>E_y = A_y \sin\left(\omega t + \delta\right) = A_y (\sin \omega t \cos \delta + \cos \omega t \sin \delta)</math>
Polarization.ellipse.jpg
<math>E_x = A_x \sin\left(\omega t \right)</math>
<math>\Rightarrow \sin\omega t = \frac{E_x}{A_x}</math>
<math>\Rightarrow \cos\omega t = \sqrt{1-\left(\frac{E_x}{A_x}\right)^2}</math>
<math>\sin\omega t</math> এবং <math>\cos\omega t</math> এর মান <math>E_y</math> এর সমীকরণে বসালে পাওয়া যায়,
<math>\frac{E_x^2}{A_x^2 \sin^2\delta} - \frac{2\cos\delta}{A_xA_y\sin\delta} E_xE_y + \frac{E_y^2}{A_y^2 \sin^2\delta}=1</math>

যা নিশ্চিতভাবেই একটি উপবৃত্তের সমীকরণ যাকে সাধারণভাবে এভাবে লেখা হয়,

<math>ax^2+bxy+cy^2=1</math>

সুতরাং এই সমীকরণটি একটি সাধারণ উপবৃত্তীয় সমাবর্তন নির্দেশ করে। অর্থাৎ তড়িৎ ক্ষেত্রের ভেক্টরের চূড়ার সঞ্চারপথ 'xy' তলে একটি উপবৃত্ত গঠন করে। একেই সমবর্তন উপবৃত্ত (polarization ellipse) বলা হয়। এই উপবৃত্তের বিভিন্ন রাশি পাশের চিত্রে দেখানো হয়েছে। এই উপবৃত্তের সাপেক্ষে বিভিন্ন সমবর্তন সংজ্ঞায়িত করা যায়:

<math>E_1=0</math> উল্লম্ব দিকে রৈখিক সমবর্তিত
<math>E_2=0</math> অনুভূমিক দিকে রৈখিক সমবর্তিত
<math>A_x=A_y, \delta=0</math> অনুভূমিক দিকের সাপেক্ষে ৪৫ ডিগ্রি কোণে থাকা তলে রৈখিক সমবর্তিত
<math>A_x=A_y, \delta=+90^\circ</math> বাম বৃত্তীয় সমবর্তিত
<math>A_x=A_y, \delta=-90^\circ</math> ডান বৃত্তীয় সমবর্তিত

বাকি সকল ক্ষেত্রে উপবৃত্তীয় সমবর্তন পাওয়া যায়। অবশ্যই তরঙ্গকে দুটি বৃত্তীয় সমবর্তনের মাধ্যমেও প্রকাশ করা যায়,

<math>E_r = A_R e^{j\omega t}</math>
<math>E_l = A_L e^{-j(\omega t+\delta')}</math>

এদের সাথে রৈখিক সমবর্তিত উপাংশগুলোর সম্পর্ক এমন:

<math>E_x = A_R \cos \omega t + A_L \sin (\omega t +\delta')</math>
<math>E_y = A_R \sin \omega t - A_L \sin (\omega t +\delta')</math>

পোয়াকারে গোলক

Poincare.sphere.1eighth.jpg
Poincare.sphere.jpg

সমবর্তন উপবৃত্ত থেকে পোয়াকারে গোলকে যাওয়ার রূপরেখা উপরের ছবিতেই আছে। ছবি থেকে স্পষ্ট বোঝা যাচ্ছে,

<math>\gamma = \tan^{-1}\frac{A_y}{A_x} \text{, } 0^\circ \le \gamma \le 90^\circ</math>
<math>0^\circ \le \tau \le 180^\circ</math>
<math>\epsilon = \cot^{-1} \left(\mp \frac{\text{MajorAxis}}{\text{MinorAxis}}\right) \text{, } -45^\circ \le \epsilon \le 45^\circ</math>

এই তিনটি কোণকে পোয়াকারে সেই ১৮৯২ সালে কিছু সমীকরণের মাধ্যমে সম্পর্কিত করেছিলেন,

<math>\cos 2\gamma = \cos 2\epsilon \cos 2\tau</math>
<math>\tan\delta = \frac{\tan 2\epsilon}{\sin 2\tau}</math>
<math>\tan 2\tau = \tan 2\gamma \cos\delta</math>
<math>\sin 2\epsilon = \sin 2\gamma \sin\delta</math>

এই সম্পর্কগুলো বলছে, <math>\epsilon</math> এবং <math>\tau</math> জানা থাকলে <math>\gamma</math> এবং <math>\delta</math> নির্ণয় সম্ভব এবং এর উল্টোটাও একইভাবে সম্ভব। সুতরাং এই দুই জোড়া কোণের যেকোন জোড়া দিয়ে যেকোন সমবর্তন দশা বর্ণনা করা যাবে। দুই ধরণের বর্ণনাকে <math>M(\epsilon,\tau)</math> এবং <math>P(\gamma,\delta)</math> দিয়ে চিহ্নিত করা হয়।

এই গোলকের তলে অবস্থিত যেকোন বিন্দু একটি সমবর্তন দশার প্রতিনিধিত্ব করে। বিশেষ কেইসগুলো এমন:

<math>\delta=0</math> <math>\tau=0</math> অনুভূমিক দিকে রৈখিক সমবর্তিত
<math>\tau=90^\circ</math> ৪৫ ডিগ্রি আণত তলে রৈখিক সমবর্তিত
<math>\tau=180^\circ</math> উল্লম্ব দিকে রৈখিক সমবর্তিত
<math>\tau=270^\circ</math> ১৩৫ ডিগ্রি আণত তলে রৈখিক সমবর্তিত
<math>\delta=+90^\circ</math> <math>\gamma=45^\circ</math> বাম বৃত্তীয় সমবর্তিত
<math>\delta=-90^\circ</math> <math>\gamma=45^\circ</math> ডান বৃত্তীয় সমবর্তিত

স্টোকস প্যারামিটার

উপরে কেবল পুরোপুরি সমবর্তিত তরঙ্গ নিয়ে আলোচনা করা হয়েছে। এদের <math>A_x</math>, <math>A_y</math> এবং <math>\delta</math> সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে, কিংবা খুবই ধীরে পরিবর্তিত হয়। একরঙা (মনোক্রোম্যাটিক) তরঙ্গের ক্ষেত্রে এটা সত্য। কিন্তু জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক উৎস থেকে আসা বিকিরণ অনেক কম্পাঙ্কে নিঃসৃত হয়। যেকোন কম্পাঙ্ক ব্যান্ডে পরিসংখ্যিকভাবে স্বাধীন অনেকগুলো তরঙ্গের উপরিপাতন থাকে। এ ধরণের তরঙ্গকে দৈব সমবর্তিত বলা হয়। এক্ষেত্রে লিখতে হয়, <math>A_x(t)</math>, <math>A_y(t)</math> এবং <math>\delta(t)</math>.

Polarization.ellipse.stokes.jpg

জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক উৎসের বিকিরণ সাধারণত আংশিক সমবর্তিত। এ ধরণের তরঙ্গকে দুটি অংশে ভাগ করা যায়, একটি পুরো সমবর্তিত এবং অন্যটি পুরোপুরি অসমবর্তিত। আর এদের সবচেয়ে ভালভাবে উপস্থাপন করা যায় স্টোকস প্যারামিটারের সাহায্যে। তবে আগে পুরোপুরি সমবর্তিত তরঙ্গের স্টোকস প্যারামিটার প্রতিপাদন করা যাক।

<math>E_x = A_x \sin(\omega t-\delta_x)</math>
<math>E_y = A_y \sin(\omega t-\delta_y)</math>

পাশের ছবিতে প্রসঙ্গ কাঠামোটি হচ্ছে xy কিন্তু সমবর্তন উপবৃত্তের মুখ্য অক্ষের কাঠামোটি হচ্ছে x'y'. এই কাঠামোর সাপেক্ষে,

<math>E_{x'} = A \cos\epsilon \sin\omega t</math>
<math>E_{y'} = A \sin\epsilon \cos\omega t</math>
<math>E_x = E_{x'} \cos\tau - E_{y'} \sin\tau</math>
<math>E_y = E_{x'} \sin\tau - E_{y'} \cos\tau</math>
<math>E_x = A (\cos\epsilon\cos\tau\sin\omega t - \sin\epsilon\sin\tau\cos\omega t)</math>
<math>E_y = A (\cos\epsilon\sin\tau\sin\omega t - \sin\epsilon\cos\tau\cos\omega t)</math>

একটুখানি গণিত নিয়ে খেলা করার পর এমনটা পাওয়া যায়,

<math>A_x = A \sqrt{\cos^2\epsilon\cos^2\tau+\sin^2\epsilon\sin^2\tau}</math>
<math>A_y = A \sqrt{\cos^2\epsilon\sin^2\tau+\sin^2\epsilon\cos^2\tau}</math>

তাহলে পোয়াকারে গোলকের সাপেক্ষে স্টোকস প্যারামিটার গুলো হচ্ছে,

স্টোকস রৈখিক সমবর্তনের সাপেক্ষে বৃত্তীয় সমবর্তনের সাপেক্ষে তাৎপর্য
দশার সাপেক্ষে <math>\epsilon</math> ও <math>\tau</math> এর সাপেক্ষে সাধারণ রূপ
I <math>A_x^2+A_y^2=A^2</math> <math>A^2</math> <math>A_x^2+A_y^2=A^2</math> <math>A_R^2+A_L^2=A^2</math>
Q <math>A_x^2-A_y^2</math> <math>A^2\cos 2\epsilon\cos 2\tau</math> <math>A_x^2-A_y^2</math> <math>2A_RA_L\cos\delta'</math>
U <math>2A_xA_y\cos\delta</math> <math>A^2\cos 2\epsilon\sin 2\tau</math> <math>(A_x^2-A_y^2) \tan\ 2\tau</math> <math>2A_RA_L\sin\delta'</math>
V <math>2A_xA_y\sin\delta</math> <math>A^2\sin 2\epsilon</math> <math>(A_x^2-A_y^2) \tan 2\epsilon\sec 2\tau</math> <math>A_R^2-A_L^2</math>
<math>I^2=Q^2+U^2+V^2</math>
<math>\frac{U}{Q}=\tan 2\tau</math>
<math>\frac{V}{I}=\sin 2\epsilon</math>

এতক্ষণ কেবল সম্পূর্ণ সমবর্তিত তরঙ্গ নিয়ে কথা হয়েছে। উপরের সবকিছু কেবল তাদের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। সম্পূর্ণ অসমবর্তিত বা আংশিক সমবর্তিত তরঙ্গের ক্ষেত্রে বিস্তার ও দশার মান সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হবে। সকল ক্ষেত্রের স্টোকস প্যারামিটার গুলোকে একটি টেবিলে নিচে দেখানো হয়েছে:

স্টোকস সম্পূর্ণ সমবর্তিত আংশিক সমবর্তিত দশার সাপেক্ষে বৃত্তীয় সমবর্তনের সাপেক্ষে গুরুত্ব
I S <math>S_u+S_p=S_u+S_{xp}+S_{yp}</math> S <math>S=S_L+S_R</math> মোট ক্ষমতা (x,y উপাংশের সমষ্টি)
Q <math>S_x-S_y</math> <math>S_{xp}-S_{yp}</math> <math>\frac{\langle E_1^2 \rangle-\langle E_2^2 \rangle}{Z}</math> <math>\frac{2}{Z} \langle E_L E_R \cos\delta' \rangle</math> রৈখিক সমবর্তিত x,y উপাংশদ্বয়ের বিয়োগফল
U <math>(S_x-S_y)\tan 2\tau</math> <math>(S_{xp}-S_{yp})\tan 2\tau</math> <math>\frac{2}{Z} \langle E_1E_2\cos\delta \rangle</math> <math>\frac{2}{Z} \langle E_L E_R \sin\delta' \rangle</math> <math>e^{j\delta}</math> এর বাস্তব অংশ এবং x ও y উপাদানের বিস্তারের গুণফলের কালসাপেক্ষ গড়ের সমানুপাতিক
V <math>(S_x-S_y)\tan 2\epsilon \sec 2\tau</math> <math>(S_{xp}-S_{yp})\tan 2\epsilon \sec 2\tau</math> <math>\frac{2}{Z} \langle E_1E_2\sin\delta \rangle</math> <math>S_L-S_R</math> <math>e^{j\delta}</math> এর কাল্পনিক অংশ এবং x ও y উপাদানের বিস্তারের গুণফলের কালসাপেক্ষ গড়ের সমানুপাতিক
নরমালাইজড স্টোকস প্যারামিটার গাণিতিক রূপ আংশিক সমবর্তিত তরঙ্গ
<math>s_0=\frac{I}{S}</math> <math>1</math> 1
<math>s_1=\frac{Q}{S}</math> <math>\frac{S_x-S_y}{S}=\langle \cos 2\epsilon \cos 2\tau \rangle</math> <math>d\ \cos 2\epsilon \cos 2\tau</math>
<math>s_2=\frac{U}{S}</math> <math>\frac{2}{Z}\frac{\langle E_1E_2 \cos\delta \rangle}{S}=\langle \cos 2\epsilon \sin 2\tau \rangle</math> <math>d\ \cos 2\epsilon \sin 2\tau</math>
<math>s_3=\frac{V}{S}</math> <math>\frac{2}{Z}\frac{\langle E_1E_2 \sin\delta \rangle}{S}=\langle \sin 2\epsilon \rangle</math> <math>d\ \sin 2\epsilon</math>

আংশিক সমবর্তিত তরঙ্গের ক্ষেত্রে নরমালাইজড স্টোকস প্যারামিটারগুলোকে নিচের মেট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়,

<math>S[s_i]=S\begin{bmatrix}

s_0 \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{bmatrix}=S\begin{bmatrix} 1-d \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}+S\begin{bmatrix} d \\ d\ \cos 2\epsilon \cos 2\tau \\ d\ \cos 2\epsilon \sin 2\tau \\ d\ \sin 2\epsilon \end{bmatrix}</math>

<math>d=\frac{\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}}{s_0}=\sqrt{s_1^2+s_2^2+s_3^2}</math>

সমবর্তিত তরঙ্গের প্রতি এন্টেনার রেসপন্স

এন্টেনা সাধারণত সমবর্তিত তরঙ্গ নিঃসরণ করে। ট্রান্সমিটিং এন্টেনা থেকে নিঃসৃত তরঙ্গগুলোর স্টোকস প্যারামিটারকে নিচের টেবিলের মত করে প্রকাশ করা হয়:

নিঃসৃত তরঙ্গের স্টোকস গাণিতিক রূপ মেট্রিক্স রূপে কার্যকরী অ্যাপার্চার
<math>a_0</math> <math>1</math> <math>A_e[a_i] = A_e\begin{bmatrix}a_0\\a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix} \ m^2</math>
<math>a_1</math> <math>\frac{{E_1^t}^2-{E_2^t}^2}{ZS_t}</math>
<math>a_2</math> <math>\frac{2}{ZS_t} E_1^t E_2^t \cos\delta</math>
<math>a_3</math> <math>\frac{2}{ZS_t} E_1^t E_2^t \sin\delta</math>

এই এন্টেনার উপর নির্দিষ্ট স্টোকসবিশিষ্ট সমবর্তিত তরঙ্গ আপতিত হলে মোট সংগৃহীত ক্ষমতা হবে,

<math>\begin{alignat}{2}

W & = \frac{1}{2} A_e[a_i]^T S[s_i] = \frac{1}{2} SA_e \sum_{i=0}^3 a_is_i \\ & = \frac{1}{2} SA_e \begin{bmatrix} a_0 & a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 \\ s_1 \\ s_2 \\ s_3 \end{bmatrix} \\ & = \frac{1}{2} SA_e (a_0s_0+a_1s_1+a_2s_2+a_3s_3) \\ & = \frac{1}{2} SA_e (1+d\cos MM_a) \\ & = \frac{1}{2} SA_e(1-d)+dS A_e \cos^2\frac{MM_a}{2} \end{alignat}</math>

যেখানে <math>MM_a</math> হচ্ছে পোয়াকারে গোলকে আপতিত তরঙ্গ এবং এন্টেনার ট্রান্সমিটিং তরঙ্গের সমবর্তন দশার মধ্যবর্তী কোণ। এটা শূন্য হলে সর্বোচ্চ রেসপন্স আর ১৮০ ডিগ্রি হলে শূন্য রেসপন্স। আপতিত তরঙ্গ এবং এন্টেনার সমবর্তন দশা বিপরীত হলে শূন্য রেসপন্স পাওয়া যায় অর্থাৎ এন্টেনা কোন তরঙ্গ সংগ্রহ করতে পারে না।

শেষ সমীকরণের প্রথম অংশ সম্পূর্ণ অসমবর্তিত অংশের জন্য আর দ্বিতীয় অংশ সম্পনূর্ণ সমবর্তিত তরঙ্গের জন্য। সহগ থেকে দেখা যাচ্ছে, আপতিত অসমবর্তিত তরঙ্গের কেবল অর্ধেক এন্টেনার পক্ষে সনাক্ত করা সম্ভব হয়, কিন্তু সমবর্তিত তরঙ্গের পুরোটাই সনাক্ত করা যায়।

এতোক্ষণ এন্টেনা এবং আপতিত তরঙ্গের সমবর্তন ৪/১ মেট্রিক্স দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে। কিন্তু এদেরকে ২/২ জটিল মেট্রিক্সের মাধ্যমেও প্রকাশ করা সম্ভব। ২/২ ফর্মালিজমের নাম কোহেরেন্সি মেট্রিক্স। রেডিও ব্যতিচারমিতিতে আকাশের কোন রেডিও উৎসের ফ্লাক্স ঘনত্ব বা উজ্জ্বলতাকে সাধারণত কোহেরেন্সি মেট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। এটা স্টোকস প্যারামিটারগুলোর এক ধরণের জটিল সমন্বয় ছাড়া আর কিছুই নয়। নরমালাইজড স্টোকস প্যারামিটারের মাধ্যমে এদেরকে এভাবে লেখা যায়,

<math>[s_{ij}] = \begin{bmatrix} s_{11} & s_{12} \\ s_{21} & s_{22} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} s_0+s_1 & s_2+js_3 \\ s_2-js_3 & s_0-s_1 \end{bmatrix}</math>
<math>[a_{ij}] = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} a_0+a_1 & a_2+ja_3 \\ a_2-ja_3 & a_0-a_1 \end{bmatrix}</math>

তাহলে মোট সংগৃহীত ক্ষমতা হবে,

<math>\begin{alignat}{2}

W & = \text{Trace } \left\{ A_e[a_{ij}] \times S[s_{ij}] \right\} \\ & = SA_e(a_{11}s_{11} + a_{12}s_{21} + a_{21}s_{12} + a_{22}s_{22}) \end{alignat}</math>