পরিমাপ সমীকরণ

ডিপথট থেকে

ইংরেজিতে: Radio Interferometry Measurement Equation (RIME). যদি নিবন্ধের নাম পরিমাপ সমীকরণ, পুরো নিবন্ধে রাইম শব্দটি ব্যবহার করা হবে। কোন সংকেত বা তরঙ্গের চলন সংক্রান্ত খুব বেসিক সমীকরণ বেশ ইন্ট্যুয়িটিভ উপায়ে রাইম প্রতিপাদন করা যায় যেটা হামাকার ১৯৯৬ সালে করেছেন।

একটি একক উৎসের রাইম

ধরা যাক, একটি একক উৎস কুয়েসাই-মনোক্রোম্যাটিক সংকেত নিঃসরণ করছে। কুয়েসাই-মনোক্রোম্যাটিক দিয়ে বোঝানো হচ্ছে, সংকেতটি খুব সরু কম্পাঙ্ক ব্যান্ডের মাঝে নিঃসৃত হচ্ছে। একটি স্থির স্থান এবং কালে এই সংকেতকে জটিল ভেক্টর <math>\mathbf{e}</math> দিয়ে প্রকাশ করা যায়। এবার xyz স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা নেয়া যাক, z দিকে তরঙ্গ প্রবাহিত হচ্ছে। তাহলে জটিল ভেক্টরটিকে দুটি জটিল সংখ্যাবিশিষ্ট একটি কলাম ভেক্টর হিসেবে লেখা যায়, যেখানে জটিল সংখ্যা দুটি তড়িৎ ক্ষেত্রের দুটি উপাংশ নির্দেশ করে।

<math>\mathbf{e} = \dbinom{e_x}{e_y}</math>

এখানে সবচেয়ে মৌলিক অনুমিতি হচ্ছে রৈখিকতা। উৎস থেকে পর্যবেক্ষক পর্যন্ত যত ধরণের রূপান্তর ঘটে তার সবই রৈখিক ধরা হচ্ছে। রৈখিক বীজগণিত থেকে জানি, একটি ২-ভেক্টরের সকল রৈখিক রূপান্তরকে মেট্রিক্স গুণন হিসেবে প্রকাশ করা যায়,

<math>\mathbf{e'} = \mathbf{J}\mathbf{e}</math>

যেখানে <math>\mathbf{J}</math> একটি ২×২ মেট্রিক্স যাকে জোন্স মেট্রিক্স বলা হয়। সংকেতের যাত্রাপথে প্রতিটি রূপান্তর বা দূষণকে একটি জোন্স মেট্রিক্স দিয়ে প্রকাশ করা হয় যেগুলো সব সংকেতের ২-ভেক্টরের সাথে গুণ হতে থাকে। জোন্স মেট্রিক্স গুলোকে আলাদা আলাদা ভাবে লিখে জোন্স শিকল তৈরি করা যায়, অথবা সবগুলোকে একটি কিউম্যুলেটিভ জোন্স মেট্রিক্স হিসেবেও লেখা যায়, যা উপরে করা হয়েছে।

<math>\mathbf{e'} = \mathbf{J}_n\mathbf{J}_{n-1}...\mathbf{J}_1\mathbf{e} = \mathbf{J}\mathbf{e}</math>

জোন্স চেইনে জোন্স মেট্রিক্সগুলোর ক্রম যাত্রাপথে রূপান্তরগুলোর ভৌত ক্রমের উপর নির্ভর করে। মেট্রিক্স গুণন যেহেতু কমিউট করে না সেহেতু এই ক্রম রক্ষা করা আবশ্যক।

এবার ধরা যাক সংকেতটি এন্টেনাতে আঘাত হানল। এন্টেনার ফিড একে ভোল্টেজে রূপান্তরিত করবে। ধরা যাক একটি এন্টেনায় দুটি ফিড (a ও b) আছে। যেমন লোফারে দুটি রৈখিক ডাইপোল ব্যবহার করা হয় যার প্রতিটি একটি ফিড ব্যবস্থা। আরেকটি অনুমিতি হচ্ছে, রূপান্তরিত ভোল্টেজ <math>v_a</math> ও <math>v_b</math> সংকেত <math>\mathbf{e}</math> এর সাপেক্ষে রৈখিক। তাহলে তাদের রৈখিক সম্পর্ক আরেকটি মেট্রিক্স গুণন ছাড়া আর কিছু না।

<math>\mathbf{v} = \dbinom{v_a}{v_b} = \mathbf{J}\mathbf{e}</math>

এটিই সংকেত ও পরিমাপকৃত ভোল্টেজের মধ্যকার রৈখিক সম্পর্ক। এখানে <math>\mathbf{J}</math> যাত্রাপথের সকল ক্রিয়ার প্রতিনিধিত্ব করে, জোন্স শিকলের সকল মেট্রিক্স এবং এমনকি এন্টেনা ও ফিডের দূষণও। একে তাই বলা হয় সামষ্টিক জোন্স মেট্রিক্স।

ভিজিবিলিটি মেট্রিক্স

এবার একটি থেকে দুই এন্টেনার (p ও q) কথায় যাওয়া যাক। দুটি এন্টেনা মিলে ইন্টারফেরোমিটারের একটি বেসলাইন তৈরি করে এবং সেই বেসলাইনের জন্য একটি ভিজিবিলিটি পাওয়া যায়। ধরা যাক এন্টেনা দুটি <math>v_p</math> ও <math>v_q</math> নামের দুটি স্বাধীন ভোল্টেজ পরিমাপ করে। এই ভোল্টেজগুলো একটি কোরিলেটরে ইনপুট হিসেবে দিলে চারটি পেয়ারওয়াইজ কোরিলেশন তৈরি হয়,

<math>\langle v_{pa} v_{qa}^* \rangle</math>, <math>\langle v_{pa} v_{qb}^* \rangle</math>, <math>\langle v_{pb} v_{qa}^* \rangle</math>, <math>\langle v_{pb} v_{qb}^* \rangle</math>

এখানে কোণবন্ধনীগুলো একটি ছোট সময় ও কম্পাঙ্ক বিনে গড় করা বোঝাচ্ছে। এই চারটি কোরিলেশনকে একসাথে ভিজিবিলিটি মেট্রিক্স হিসেবে লেখা যায়,

<math>V_{pq} = 2\begin{pmatrix}

\langle v_{pa} v_{qa}^* \rangle & \langle v_{pa} v_{qb}^* \rangle \\ \langle v_{pb} v_{qa}^* \rangle & \langle v_{pb} v_{qb}^* \rangle \end{pmatrix}=2\left\langle\begin{matrix} \dbinom{v_pa}{v_pb} & (v_{qa}^*, v_{qb}^*) \end{matrix}\right\rangle=2\langle \mathbf{v}_p \mathbf{v}_q^H \rangle </math>

এখানে H দ্বারা কঞ্জুগেট ট্রান্সপোজ বা হার্মিশিয়ান ট্রান্সপোজ বোঝাচ্ছে। একে হামাকার কোহেরেন্সি মেট্রিক্স বলেছিলেন, প্রথাগত স্কেলার ভিজিবিলিটি থেকে তাকে আলাদা করতে। কিন্তু এখানে মেট্রিক্সে ভেতরের প্রতিটি উপাদানের মান যেহেতু আক্ষরিক অর্থেই পরিমাপকৃত জটিল ভিজিবিলিটি সেহেতু ওলেগ স্মির্নভ একে ভিজিবিলিটি মেট্রিক্স ডাকাই যৌক্তিক মনে করেছেন।

রাইম

এন্টেনা দুটিতে দুটো সংকেত দুই পথে এসেছে। তাই পথিমধ্যের জোন্স মেট্রিক্সগুলো তাদের জন্য আলাদা হবে।

<math>V_{pq} = 2\langle \mathbf{v}_p \mathbf{v}_q^H \rangle = 2\langle \mathbf{J_p}\mathbf{e} (\mathbf{J}_q\mathbf{e})^H \rangle = 2\langle \mathbf{J_p} (\mathbf{e}\mathbf{e}^H) \mathbf{J}_q^H \rangle</math>

যে সময় ও কম্পাঙ্ক ব্যাপ্তিতে গড় করা হচ্ছে তার মধ্যে <math>J_p</math> এবং <math>J_q</math> কে ধ্রুব ধরলে তাদেরকে এভারেজিং অপারেটরের বাইরে নিয়ে আসা যায়।

<math>V_{pq} = 2\mathbf{J_p} \langle (\mathbf{e}\mathbf{e}^H) \rangle \mathbf{J}_q^H = 2\mathbf{J_p} \begin{pmatrix}

\langle e_{x} e_{x}^* \rangle & \langle e_{x} e_{y}^* \rangle \\ \langle e_{y} e_{x}^* \rangle & \langle e_{y} e_{y}^* \rangle \end{pmatrix} \mathbf{J}_q^H</math>

এখানে বন্ধনীর ভেতরে সংকেতের কোরিলেশন গুলোর সাথে স্টোকস রাশিগুলোর সরাসরি সম্পর্ক আছে। হামাকার ও ব্রেগমান ১৯৯৬ সালে স্পষ্টভাবে দেখিয়েছেন যে,

<math>2\begin{pmatrix}

\langle e_{x} e_{x}^* \rangle & \langle e_{x} e_{y}^* \rangle \\ \langle e_{y} e_{x}^* \rangle & \langle e_{y} e_{y}^* \rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I+Q & U+iV \\ U-iV & I-Q \end{pmatrix} = B</math>

এখানে B কে বলা হয় ব্রাইটনেস বা উজ্জ্বলতা মেট্রিক্স। অর্থাৎ উজ্জ্বলতা মেট্রিক্সকে জোন্স মেট্রিক্সগুলো দিয়ে গুণ করলেই ভিজিবিলিটি মেট্রিক্স বেরিয়ে আসে। তাহলে এখান থেকে বেশ সহজেই একটি একক উৎসের জন্য চূড়ান্ত পরিমাপ সমীকরণ অর্থাৎ রাইম লিখে ফেলা যায়,

<math>V_{pq} = \mathbf{J}_p B \mathbf{J}_q^H</math>

এখানে V ভিজিবিলিটি বা কোহেরেন্সি মেট্রিক্স, J জোন্স মেট্রিক্স এবং B উজ্জ্বলতা মেট্রিক্স। মেট্রিক্সগুলো ভেঙে লিখলে এমন দাঁড়াবে,

<math>\begin{pmatrix}

v_{aa} & v_{ab} \\ v_{ba} & v_{bb} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} j_{11p} & j_{12p} \\ j_{21p} & j_{22p} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I+Q & U+iV \\ U-iV & I-Q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} j_{11q} & j_{12q} \\ j_{21q} & j_{22q} \end{pmatrix}^H</math>

এখানে e, B, J কোনটাই স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে না। একে চাইলে বৃত্তাকার সমবর্তনের জন্যও লেখা যায়। রাইমকে বিখ্যাত পেঁয়াজ রূপেও লেখা যায়,

<math>V_{pq} = \mathbf{J}_{pn}(...(\mathbf{J}_{p2}(\mathbf{J}_{p1}B\mathbf{J}_{q1}^H)\mathbf{J}_{q2}^H)...)\mathbf{J}_{qm}^H</math>

একটি একক দূষণহীন উৎস