কুলম্বের সূত্র

ডিপথট থেকে

নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র এবং কুলম্বের আধানের আকর্ষণ বিষয়ক সূত্রের মধ্যে মিল আছে- দুটোই বিপরীত বর্গীয় সূত্র। কুলম্বের সূত্র বলে, দুটি আধান <math>q_1</math> এবং <math>q_2</math> এর মধ্যে আকর্ষণ বল,

<math>\mathbf{F} = \left(\frac{q_1 q_2}{r^3}\right) \mathbf{r}</math>

যদি দুটির বদলে অনেকগুলো আধান থাকে তাহলে যেকোন একটি আধান <math>q</math> এর উপর অন্য সব আধান কর্তৃক প্রযুক্ত বল হবে,

<math>\mathbf{F} = q \sum_i \left[\frac{q_i}{r_i^3}\right] \mathbf{r}_i</math>

এই বল থেকেই আমরা তড়িৎ ক্ষেত্রের সংজ্ঞা দিতে পারি এভাবে,

<math>\mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q}</math>

যাকে বলা যেতে কুলম্বীয় বলের আসন বা ক্ষেত্র।

এই সবগুলো সূত্রই ধরে নেয় আধানগুলো সব শূন্যস্থানে স্থির অবস্থায় আছে। এর অন্যথা হলে,

  1. <math>q_i</math> আধানগুলো যদি গতিশীল থাকে তাহলে <math>q</math> আধান একটি চৌম্বক বল অনুভব করবে
  2. আর যদি তারা শূন্যস্থানে না থেকে কোন সমবর্তনযোগ্য ডাইইলেকট্রিক মাধ্যমে থাকে তাহলে মাধ্যমটি এমন ব্যবস্থা করবে যাতে কিছু বল বিপরীত বলের ক্রিয়ায় ধ্বংস হয়ে যায়

সুতরাং <math>q</math> আধানের উপর আসলে যে বল ক্রিয়া করে তা উপরের সমীকরণের পরিমাণ থেকে কম।

ডাই-ইলেকট্রিক সরণ

গতি এবং ডাই-ইলেকট্রিক পদার্থের প্রভাবে কুলম্ব বল কতুটুকু কমে যায় তা পরিমাপ করার জন্য ডাই-ইলেকট্রিক ধ্রুবক (<math>\varepsilon</math>) এবং ডাই-ইলেকট্রিক সরণ (<math>D</math>) নামক রাশি দুটি ব্যবহার করা হয়। একটি সুষম ডাই-ইলেকট্রিক মাধ্যমে গতিশীল আধানের ক্ষেত্রে বলের সূত্র হবে,

<math>\mathbf{F} = \frac{q}{\varepsilon} \sum_i \left[\frac{q_i}{r_i^3}\right] \mathbf{r}_i</math>

ডাই-ইলেকট্রিক সরণকে এভাবে লেখা হয়,

<math>\mathbf{D} = \varepsilon\mathbf{E} = \sum_i \left[\frac{q_i}{r_i^3}\right] \mathbf{r}_i</math>

স্পষ্টই দেখা যাচ্ছে এই সরণ কেবলমাত্র আধানগুলোর অবস্থান (r) এবং মানের (q) উপর নির্ভর করে। অবশ্য সব পদার্থের ক্ষেত্রে এটা সত্যি না। এটা সত্যি হতে হলে ডাই-ইলেকট্রিক ধ্রুবককে অবশ্যই তড়িৎ ক্ষেত্র নিরপেক্ষ হতে হবে। তড়িৎ ক্ষেত্রের শক্তির মান একটি নির্দিষ্ট মানের চেয়ে কম হলে ধ্রুবকটি আসলেই তড়িৎ ক্ষেত্র নিরপেক্ষ।

এবার একটা একটা আধান বিবেচনা করা যাক। একটি আধান <math>q_1</math> এর কারণে আমাদের বিবেচ্য আধানের সরণকে লেখা যায় এভাবে,

<math>\mathbf{D} = \left(\frac{q_1}{r^3}\right)\mathbf{r} = \left(\frac{4\pi q_1}{4\pi r^3}\right)\mathbf{r}</math>
<math>\mathbf{D}.\mathbf{n} = \left(\frac{4\pi q_1}{rA}\right) \mathbf{r}.\mathbf{n}</math>

যেখানে <math>\mathbf{n}</math> হচ্ছে আধান দুটি যে তলে অবস্থিত সে তলের লম্ব বরাবর <math>\mathbf{r}</math> বিন্দুতে একটি একক ভেক্টর। A ক্ষেত্রফল। অনেক আধান থাকলে বা আধান বিন্যাস কন্টিন্যুয়াস হয়ে গেলে উপরের সমীকরণকে এভাবেও লেখা যায়,

<math>\int \mathbf{D}. d\mathbf{s} = \int 4\pi\rho dV = \int \nabla .D dV</math>

যেখানে <math>\rho</math> হচ্ছে আধানের ঘনত্ব। এই সমীকরণের প্রথম এবং শেষ অংশের সমতা প্রতিষ্ঠিত হয়েছে গাউসের নীতি বা ডাইভারজেন্স নীতি অনুসারে। এই নীতি বাম পাশের সার্ফেস ইন্টিগ্রালের সাথে ডান পাশের ভলিউম ইন্টিগ্রালের সমতা প্রতিষ্ঠিত করে।

মহাকাশ প্রসঙ্গ

মনে হতে পারে মহাকাশ যেহেতু প্রায় শূন্য, অর্থাৎ সেখানে যেহেতু পদার্থের ঘনত্ব খুবই কম সেহেতু তড়িৎ ক্ষেত্র এবং পরাবৈদ্যুতিক সরণের মধ্যে তো তেমন কোন পার্থক্য থাকার কথা নয়। কিন্তু এটা সত‌্য নয়। আসলে আন্তঃনাক্ষত্রিক পদার্থ সম্পর্কে আমরা যা জানি তার অধিকাংশই সম্ভব হয়েছে তড়িৎ ক্ষেত্রের এবং পরাবৈদ্যুতিক সরণের সামান্য পার্থক্যের কারণে। এই পার্থক্যকে পরিমাপ করার একটা রাশি আছে,

সমবর্তন ক্ষেত্র

সমবর্তন ক্ষেত্র তড়িৎ ক্ষেত্র এবং পরাবৈদ্যুতিক সরণের পার্থক্যের প্রতিনিধিত্ব করে,

<math>\mathbf{P}=\frac{[\mathbf{D}-\mathbf{E}]}{4\pi}=\frac{(\varepsilon -1)\mathbf{E}}{4\pi}</math>

ক্ষেত্রটি আসলে <math>4\pi \mathbf{P}</math> যা সমবর্তনযোগ্য মাধ্যমে আধানগুলোর পুনর্বিন্যাসের মাধ্যমে এই ক্ষেত্রটি গঠিত হয়। এটা বাইরে থেকে প্রযুক্ত ক্ষেত্রের বিরুদ্ধে কাজ করে এবং ক্ষেত্রের মানকে <math>\mathbf{D}</math> থেকে কমিয়ে <math>\mathbf{E}</math> তে নিয়ে আসে।

এখানে <math>4\pi</math> যোগ করা একটা প্রথার ব্যাপার।